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1、习题一（第一章杆系结构有限元分析的基本原理）1.1试用材料力学方法建立式（1-56）所示的单元平衡方程。提示：利用式（1-50）和材料力学公式MEIy，QEIy，并注意按照材力规定，单元两端截面上的剪力和弯矩的正方向如题图1-1所示。,题图1-1?解：先求应变能,记i，j端的位移列向量[??]=[????],应变能????22?1dy⋃=∫ΕΙ()dx02dx2根据结点位移构造单元的位移函数y，设y=HU+Hθ+HV+Hθ=[H][δe][H]=[HHHH]1?2?
2、3?4?1234H?为Hermite插值函数，满足以下条件：H(0)=1H′(0)=0H(l)=0H′(l)=01111H(0)=0H′(0)=1H(l)=0H′(l)=02222H(0)=0H′(0)=0H(l)=1H′(l)=03333H(0)=0H′(0)=0H(l)=0H′(l)=14444对于每个Hermite插值函数H?都可以假设为三次多项式H=a+ax+ax2+ax3i=1,2,3,4??0?1?2?3H?满足插值条件，例如：i=1时，H=a+ax+ax2+ax3110111213H′=a+2ax
3、+3ax21111213代入插值条件得：a10=1；a11=0；a+a?+a?2+a?3=010111213a+2a?+3a?2=011121332解得a10=1；a11=0；a12=−?2；a13=?3；故H=1(?3−3?x2+2x3)；1?3同理得H=1(3?x2−2x3)；H=1(?2x−2?x2+x3)；2?33?2H=1(1x3−?x2)4?2?2令η=x2+2η3；H=3η2−2η3；?，则H1=1−3η2H=?(η−2η2+η3)；H=?(η3−η2)14外力势能W=−(QV+Mθ+QV+Mθ)
4、=−[??]?[??]?????????[??]=[QMQM]????22故π=U+W=∫ι1ΕΙ(dy)dx−[??]?[??]02dx22[2=11{dH][??]}dη1−[??]?[??]∫ΕI20dη2?32[2=11ΕI[??]?(dH])[??]dη−[??]?[??]∫20?3dη2∂π1ΕId2[H]d2[H]ee根据势能驻值原理得=∫[δ]dη−[F]=0∂[δe]T0l3dη2dη2?1ΕId2[H]d2[H]因此若令[?]=∫dη则上式变为0l3dη2dη2[??][??]=[Fe]?1
5、ΕId2[H]d2[H]单元刚度矩阵[?]=∫dη0l3dη2dη223d2[H]如求k11，此时H1=1−3η+2η2=−6+12ηdη1ΕI12EI故k11=∫0l3(−6+12η)(−6+12η)dη=?323d2[H]再如求k23，H2=3η−2η；2=6−6ηdη23d2[H]H1=?(η−2η+η)；2=?(−4+6η)dη1ΕI6EIk23=∫0l3?(6−6η)(−4+6η)dη=−?21ΕId2[H]d2[H]同理用公式k??=∫0l3dη2dη2dη可计算其余单元刚度矩阵元素求得单元刚度矩阵
6、为：126?−126?22e]=ΕI6?4?−6?2?[k[]?3−12−6?12−6?6?2?2−6?4?2平衡方程为[??][??]=[Fe].e1.2在式（1-55）所示平面梁单元的弯曲刚度矩阵K中存在以下关系???3?=−?1?{?????1?=?2?+?4?(?=1,2,3,4)说明以上关系式的物理意义。??解：式（1-55）为对称矩阵???=???126?−126?22[??]=???[6?4?−6?2?]?3−12−6?12−6?6?2?2−6?4?2???3?=−?1?的物理意义：在单元的近端（
7、远端）发生单元线位移时引起的近端（远端）沿该线位移方向的力与在远端(近端)引起的同方向的力是一对平衡力，由于在单元坐标系下结点力都规定沿坐标系正方向为正，故方向相反需加负号。?????1?=?2?+?4?的物理意义：第j个位移分量发生单位位移时，????引起的近端力为[???]=[?1??2?]，引起的远端力????[???]=[?3??4?]，根据单元力矩的平衡，对远端取矩得??????−??1?+?2?+?4?=0，故??1?=?2?+?4?，上式关系表明发生单元位移分量时，引起的单元的力和力矩是平衡的。1
8、.3某个杆件?的单元局部坐标系如题图1-2所示，???平面与格栅所在平面???重合，?轴正方向与整体坐标系?轴相同。写出局部坐标系下的格栅单元刚度矩阵。θ,θ,θ,0θ,Q,Q题图1-2解：由于该杆件只有沿?方向的线位移、绕?轴角位移和绕?轴的角位移，所以根据空间梁单元的单元刚度矩阵，划去第1,2,6,7,8,12行和
