第9讲矢量场的环量及旋度1

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1、《矢量分析与场论》第9讲矢量场的环量及旋度（1）张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院《矢量分析与场论》主要内容1.环量2.环量面密度3.旋度教材：第2章，第4节1.环量环量反映矢量场A和环线l之间的相互作用。环线l为封闭曲线，其方向规定为：环线l和流I成右手螺旋法则。l1.环量当质点沿封闭曲线l运动一周时，场力F所做的功，用曲线积分表示为tldlFWFdlFdldltll安培环路定理：磁场H的环路积分等于穿过内部的电流I，有HdlIl1.环量环量：设有矢量场A(M)，沿场中某一封闭的有

2、t向曲线l的曲线积分ldlAdlAdll叫做矢量场按照积分所取方向沿曲线l的环量。在直角坐标系中，矢量表示为：AA(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k1.环量dlndldlcos(t,x)idlcos(t,y)jdlcos(t,z)ktdxidyjdzkldldlAcos(t,x),cos(t,y),cos(t,z)为l的切线矢量t的方向余弦。在直角坐标系中，环量表示为：Adl(PdxQdyRdz)ll1.环量例1：设有平面矢

3、量场Ayixj，l为场中的星33形线xrcos,yrsin,，求此矢量沿l正向的环量。y解：Adl(ydxxdy)lloR2x3333(Rsind(Rcos)Rcosd(Rsin))02242242(3Rsincos3Rcossin)d023222222Rsin2d3R0cossind4032232R(1cos4)dR8041.环量环量叠加定理：若有多个矢量场A,A,,A，且12n在同一个曲线l内穿进（或穿出），则总的环量满足叠加定理，I2InlI1n

4、nnAidlAidlili1i1li1Ii如果总环路内有多个流I(i1,2,n)，则总环量in是流Ii的代数和。i11.环量如果环量为零，并不意味着环路内无流，只能表明环路内流的代数和为零。闭合曲线内环量与曲线形状无关；与流在曲线内的位置无关，只取决于穿过曲线l的流I。环量表示流贡献的宏观描述，无法从微观层面上描述流的特性。1.环量斯托克斯（Stokes）定理：光滑空间曲面S和边界l成右手法则。函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在S,l上均有一阶连续偏导数，则有zRQ(PdxQdy

5、Rdz)(()dydzyzSlSPRQP()dzdx()dxdy)zxxyl联系空间第II型曲面积分yoDxy和该边界第II型曲线积分。xC1.环量格林公式可以看成斯托克斯公式在平面上的一个特例，即AA(x,y)P(x,y)iQ(x,y)jQP(PdxQdy)(()dxdyxylSl的方向为内边线顺时针，外边线逆时针。2.环量面密度环量只能描场中述以l为边界的一块曲面S内总的流（电流强度）；不能反映场中任意一点处通向任意方向n的流的密度（电流密度）。流密度：矢量场中M点处沿任一方向n，通

6、过与n垂直的单位面积的流（电流密度）。为了研究这一类问题，引入了环量面密度的概念。2.环量面密度环量面密度：设M为矢量场A中的一点，在该点处取定一个方向n，过该点做一微小曲面S，以n为其法矢；以S表示其表面积，其边界l的正向取作与构成右手螺旋关系；矢量场沿之nl正向的环量与面积S的比值/S的极限存在，则称其为矢量场A在点M处沿方向n的环量面密度。记作n，即nAdlMSllimlimnSMSSMSl2.环量面密度环量面密度是环量对面积的变化率。在磁场强度H所构成的磁场中一点M处，沿方向n的环量

7、面密度HdlIdIllimlimnSMSSMSdS就是在点M处沿方向n的电流密度。在直角坐标系中，设，AA(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k2.环量面密度由斯托克斯公式Adl(PdxQdyRdz)llRQPRQP()dydz()dxdz()dxdyyzzxxySRQPRQP(()cos(