海伦与海伦三角形

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2001年第2期数学通报43海伦与海伦三角形孙宏安(大连教育学院tt~1)提起希腊数学家海伦，人们就会立刻想到那是海伦三角形，勾股数组一定是海伦三数组．进个由三边求三角形面积的海伦公式而，用两个毕达哥拉斯三角形可以拼成一个斜的S=~，P(P一。)(P—b)(P—c)海伦三角形．印度数学家婆罗摩笈多其中S是三角形面积，n、b、c为三边之长，P是半(Brahmagupta，约598一约660)对此做过深入的研1究．图示两种拼法周长，即P={(0+b+c)．但据lO—l1世纪的一位阿拉伯学者比

2、鲁尼(．^b0Rayh&nal—Bir~ni)所述，这一公式是阿基米德(Archimedes，公元前287一前2121最先得出的，这一点现在得到公认．362059但是这一公式确实是由于海伦的工作而流传下来左图为(25，39，56)为边，S：420；右图为的．因而称为海伦公式似乎也是可以的．(13，14，15)，S=84，即海伦举的例子．海伦(Hero或Heron)是希腊亚历山大后期考察(13，l4，l5)这一海伦三数组，就会发现：(从公元前3O年到公元600年)的著名数学家，他它们是连续的自然数．如果限于在此条件下构造的生卒年代甚至生

3、平事迹都没有留下记载．人们海伦三角形，即寻找作为连续自然数的海伦三数确知的只是他在公元62年前后活跃在当时的希组．结果如何呢?腊学术中心——亚历山大[位于现在埃及尼罗河不妨设0=2x一1，b=2x，c=2+1，则有口附近的亚历山大(Alexandria)]．这一年代是根据他的一部著作《测量仪器》描述他对一次月食P=3x，于是S=~／3(一1)．要使S为整数．根的观测——他提出，在两个不同的地方观测同一号下为完全平方数，即—1要具有3y(Y为整次月食，就可推出这两地的时差，从而算出两地的数)的形式，于是问题归结求不定方程2距离——所提出

4、的数据推算出来的．他记载观测X—32：1了一次春分前l0天凌晨的月食，书中没有记年．的正整数解．这是有名的“佩尔方程”．现代算出，这样的一次月食发生在公元62年．由一d=1(A为非完全平方的正整数)的一此准确地确定了海伦活动的年代．个特例．关于海伦公式的论述包含在他的著作《度量法国数学家拉格朗日(J．L．Lagrange，1736—论》中，在书中他完全用文字叙述了这一公式和1813)对A：3的情形给出的解法，由此得出了三它的一个证明．边是连续自然数的所有的海伦三角形，其中最小海伦公式带有根号，因此对许多三角形来说，的六个是：(3，4，

5、5)，(13，14，15)，(51，52，53)，虽然边长都是整数，面积一般却是无理数．在《度(193，194，195)，(723，724，725)，(2701，2702，量论》一书中，海伦举出一个奇妙的例子——边2703)．长和面积都是整数，那就是a=13，b=14，c=海伦留下了大量学术著作，除《度量论》外，15．S：、i_『l—：84．还有《测量仪器》、《气体力学》、《自动舞台》、《武器制造法》、《定义》、《几何》、《测量》等等．人们认为后来人们称边和面积都是整数的三角形为海伦的特点是多才多艺，善于博采众长．他在著作“海伦三角形

6、(HemniseheDreiecke)”，这种三角形中大量引用前人的成果，如经常提到阿基米德、欧的三边为“海伦三数组(Heroniontriple)”．一个自多克索斯(Eudoxus)、柏拉图(Plato)、埃拉托塞尼然的问题显然是：如何构造海伦三角形呢?(Eratosthenes)等，但在纯数学理论方面没有多大海伦三角形肯定是存在的，因为三边长都为的推进，在论证时也不十分讲究传统的严格性，而整数的直角三角形(可称为“毕达哥拉斯三角形”)是大胆地使用某些经验性的近似公式，特别注重的面积一定是整数，所以，毕达哥拉斯三角形一定维普资讯ht

7、tp://www.cqvip.com2001年第2期数学通报2000年高考数学立几题证法探讨顾承坤(浙江省桐乡市茅盾中学314500)如图，已知平行六面体AlC一平面CiBD，4BCD—A1B1C1D】的底面即须使1一cl0，4BCD是菱形，且CCB=从而即须使一_CCD=BCD．d．(I)证明：c1c—BD；设∞=2a,CD=，并不妨设ccl=l，(Ⅱ)当的值为多少时，能那么CD=，．。．C口=kcosa，CA=2kcos,z．使c上平面cBD?请给出证明．CH=3kcosz,，OD：ksitar．nC1D=CD+CC】一2CD·C

8、C1·c0s2。对(II)的证明标准答案给出方法是以砉==+l一2kcos2d．1为条件，证得d】c__平面ClBD即告结束．C1O=A1Ⅳ2：C1D一OD=+1—2kcos2d这种证明方法是否确切，笔者提出以下几点k2