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1、代数系统内容提要在集合上可以定义若干个运算由这些运算而组成的系统在计算机科学中应用广泛主要内容:运算及其性质、群、环、域、格代数和布尔代数等。代数系统集合上的运算对于集合A中任意元素x的一种映射F(x):一元运算任意n个元素x1,x2,…,xn,一种映射F(x1,x2,…,xn):n元运算例如：自然数集合上定义的普通加法、乘法等，都是二元运算。比较：集合之间定义的运算和集合上定义的运算代数系统代数系统的引入设f1,f2,…,fk是在非空集合A上定义的运算，这些运算与集合组成一个代数系统，记作.当运算只有一种时，通常写作，而运算f通常
2、表示成*，•,★,△,◇,⊕,⊙等。代数系统封闭性与唯一性*是集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有x*y∈A,则称*在集合A上是封闭的。*是集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x,y∈A,x*y都是A中的唯一元素,则称*在集合A上是唯一的。代数系统交换律与结合律交换律：*是集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有x*y=y*x,则称*是可交换的。结合律：*是集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈A,都有(x*y)*z=x*(y*z),则称*是可结合的。代数系统分配律设⊕,⊙是集合A上的两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈
3、A,都有x⊕(y⊙z)=(x⊕y)⊙(x⊕z)(y⊙z)⊕x=(y⊕x)⊙(z⊕x)则称运算⊕对于运算⊙是可分配的。代数系统吸收律设⊕,⊙是集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈A,都有x⊕(x⊙y)=xx⊙(x⊕y)=x则称运算⊕和⊙满足吸收律。代数系统等幂性*是集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x∈A,都有x*x=x,则称运算*是等幂的。代数系统运算表*是定义在集合A上的二元运算，A是有限集，A={x1,x2,…,xn},那么对于任意的xi,xj∈A,xi*xj的结果放在以xi为行、xj为列所组成的一个表格内。例如*abaa*aa*bbb*a
4、b*b代数系统单位元（幺元）左幺元：*是集合A上的一个二元运算，如果A中存在一个元素el,对于任意的x∈A,都有el*x=x,则称el为A中关于运算*的左幺元；右幺元：*是集合A上的一个二元运算，如果A中存在一个元素er,对于任意的x∈A,都有x*er=x,则称er为A中关于运算*的右幺元；如果A中存在一个元素e既是左幺元又是右幺元，则称e是A中关于运算*的幺元。显然，对于任意的x∈A,都有e*x=x*e=x.代数系统幺元的性质如果左、右幺元都存在，那么它们必相等，而且就是幺元。幺元是唯一的！代数系统零元左零元：*是集合A上的一个二元运算，如果A中存在一个元素θl,对于
5、任意的x∈A,都有θl*x=θl,则称θl为A中关于运算*的左零元；右零元：*是集合A上的一个二元运算，如果A中存在一个元素θr,对于任意的x∈A,都有x*θr=θr,则称θr为A中关于运算*的右零元；如果A中存在一个元素θ既是左零元又是右零元，则称θ是A中关于运算*的零元。显然，对于任意的x∈A,都有θ*x=x*θ=θ.代数系统零元的性质如果左、右零元都存在，那么它们必相等，而且就是零元。零元是唯一的！注意：如果幺元和零元均存在，那么它们必不相等。代数系统逆元左逆元：〈A，*〉是一个代数系统，e是A中关于运算*的幺元。对于A中的元素a，存在A中的某个元素b，使得b*a
6、=e,则称b为a的左逆元；右逆元：〈A，*〉是一个代数系统，e是A中关于运算*的幺元。对于A中的元素a，存在A中的某个元素b，使得a*b=e,则称b为a的右逆元；如果存在一个元素b，既是左逆元又是右逆元，那么b是a的逆元，记作a-1.代数系统逆元的性质逆元是相互的：即b是a的逆元，则a也是b的逆元。左、右逆元不一定相等。逆元不一定唯一。代数系统运算表的作用运算*的封闭性和唯一性运算*的可交换性运算*的等幂性存在零元存在幺元存在逆元代数系统半群一个代数系统〈S，*〉，S是非空集合，*是S上的一个二元运算。如果：（1）运算*是封闭的，（2）运算*是可结合的，则称〈S，*〉是
7、半群。代数系统独异点含有幺元的半群为独异点。设〈S，*〉是独异点，则它的运算表中任何两行或两列都是不相同的。代数系统群一个代数系统〈G，*〉，G是非空集合，*是G上的一个二元运算。如果：（1）运算*是封闭的，（2）运算*是可结合的，（3）存在幺元e，（4）对于G中的每一个元素x，都存在它的逆元x-1,则称〈G，*〉是一个群。代数系统有限群与无限群〈G，*〉是一个群，如果G是有限集，那么称〈G，*〉是有限群，
8、G
9、为该群的阶数；如果G是无限集，那么称〈G，*〉是无限群。代数系统群的性质群中每个元素都存在逆元且唯一群中没有零元群的运算表中没有
