数学中的公理化方法

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1、第四章数学中的公理化方法与结构方法公理化方法在近代数学的发展中起着基本的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统形成有着深刻的影响，而数学结构方法则是全面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革运动，即“新数学”运动。两种方法均是用来构建数学理论体系的，一个是局部，一个是整体。本章将概括介绍这两种思想方法，从中领略数学理论构建的一般思想方法。§4.1公理化方法的历史概述公理化方法的基本思想数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理

2、都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。§4.1公理化方法的历史概述因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。§4.1公理化方法

3、的历史概述公理化方法的历史考察众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。亚里斯多德的思想方法深深地影响了公元前3世纪的希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上重要著作《几何原本》。§4.1公理化方法的历史概述欧几里德《几何原本》是有史以来用公理化思想方法建立起来的

4、第一门演绎数学，而且成为以后很长时期严格证明的典范。《几何原本》在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学的发展起了巨大的作用，基本上完善了初等几何体系。当然，现在看来由于受当时整个科学水平的限制，这种公理化方法还是很原始的，其公理体系还是不完备的。所以，称这一阶段为公理化方法的初期阶段。§4.1公理化方法的历史概述欧几里德《几何原本》孕育了一种理性精神，成为展示人类智慧和认识能力的一个光辉典范。欧几里德的《原本》所表述的数学观是：⑴几何理论是封闭的演绎体系。《原本》成功地将零散的数学理论编为一个以基本假设到最复杂结论的整体结构。从逻辑结构来看，《原本》是一个最早形成

5、的演绎体系，除所用的逻辑规则外，具备了其理论推导的所有前提，从理论发展形势来看是一个封闭的理论演绎体系。§4.1公理化方法的历史概述⑵抽象化的内容。《原本》中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，由一些给定的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑这些概念和命题与社会具体生活的关系，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些显示原型。如在《原本》中研究了“所有的”矩形（即抽象的矩形概念）的性质，但不研究任何一个具体的矩形的实物大小；《原本》中研究了自然数的若干性质，但却一点也不涉及具体的自然数的计算及应用。§4.1公理化方法的历史概述

6、⑶公理化方法。《原本》的基本结构是由少数不定义的概念（如点、线、面等）和少量不证自明的命题（五个公设和五个公理）出发，定义出该体系中的所有其他概念，推演出所有其他的命题（定理）。《原本》就是用这种公理化方法建立起了几何学的逻辑体系，从而成为其后所有数学的范本。在公理化方法的初期阶段，它的“严格性”也只是相对当时的情况而言的。譬如，有些基本概念的定义不够妥当，有些证明只不过是借助于直观等等。§4.1公理化方法的历史概述特别是《原本》中第五公设的陈述从字面上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空间的性质；其二、它本身很可能是一个定理

7、。对于这两个问题，人们从以下几个方面进行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明的公设；三是换一个与它相反的公设。§4.1公理化方法的历史概述通过很多第一流的数学家近两千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人正面直接证明而失败的教训，反其道而行之，改用反证法来证明（将第五公设换成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以证明第五公设就是一个定理，即不独立于其它公理），并于1733年公布了他的证明，但随后不久数学家们发现他的证明有问题。§4.1公理化方法的历史概述萨克利最先使用归谬法来证明第