智能仪器讲稿-第五章

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1、第五章第五章智能仪器的运算程序及数据处理智能仪器的运算程序及数据处理•常用数值计算：–四则运算。•常用函数–指数函数；对数函数；三角函数；乘方；开方等。三角函数的计算三角函数的计算•如果连续函数f(x)在X=a的邻域具有任意阶有限导数，则能展开为台劳级数：()xa−2fxfaxafa()=+()(−)()′′+fa′()+"+2!(1n−)n()xa−−fann−1()++()xafaxa[Θ(−)](1n−)!n!01<Θ<问题的提出问题的提出1.设f(x)在x处连续,则有0f(x)≈f(x0)[

2、f(x)=f(x0)+α]2.设f(x)在x处可导,则有0f(x)≈f(x)+f′(x)(x−x)000[f(x)=f(x)+f′(x)(x−x)+o(x−x)]0000x例如,当x很小时,e≈1+x,ln(1+x)≈x（如下图）xy=ey=xxy=ey=ln(1+x)y=1+xoo不足:1、精确度不高；2、误差不能估计.问题:寻找函数P(x),使得f(x)≈P(x)误差R(x)=f(x)−P(x)可估计设函数f(x)在含有x的开区间(a,b)内具有直到0(n+1)阶导数,P(x)为多项式函数2nP

3、(x)=a+a(x−x)+a(x−x)+"+a(x−x)n01020n0误差R(x)=f(x)−P(x)nnPnPn和和RnRn的确定的确定分析:xy近似程度越来越好1.若在0点相交P(x)=f(x)y=f(x)n002.若有相同的切线P′(x)=f′(x)n003.若弯曲方向相同xP′′(x)=f′′(x)ox0n00""""(k)(k)假设P(x)=f(x)k=1,2,",nn00a0=f(x0),1⋅a1=f′(x0),2!⋅a2=f′′(x0)"",n!⋅a=f(n)(x)n01(k)得a=

4、f(x)(k=0,1,2,",n)k0k!代入P(x)中得nf′′(x0)2P(x)=f(x)+f′(x)(x−x)+(x−x)+"n00002!(n)f(x0)n+(x−x)0n!麦克劳林级数麦克劳林级数•若上式中a=0，则得到麦克劳林级数x2fxf()=(0)++xf′′(0)f′(0)+"+2!(1n−)nxxffnn−1(0)+Θ(x)(1n−)!n!01<Θ<泰勒泰勒((Taylor)Taylor)中值定理中值定理泰勒(Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)

5、内具有直到(n+1)阶的导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x−x)的一个0n次多项式与一个余项R(x)之和:nf′′(x0)2f(x)=f(x)+f′(x)(x−x)+(x−x)00002!(n)f(x0)n+"+(x−x)+R(x)0nn!(n+1)f(ξ)n+1其中R(x)=(x−x)(ξ在x与x之间).n00(n+1)!泰勒公式泰勒公式(k)nf(x)0kPn(x)=∑(x−x0)k=0k!称为f(x)按(x−x)的幂展开的n次近似多项式0(k)nf(x)0kf(x)=∑(x−

6、x0)+Rn(x)k=0k!称为f(x)按(x−x)的幂展开的n阶泰勒公式0(n+1)f(ξ)n+1R(x)=(x−x)(ξ在x与x之间)n()00n+1!拉格朗日形式的余项(n+1)f(ξ)n+1Mn+1R(x)=(x−x)≤(x−x)n()0()0n+1!n+1!R(x)n及lim=0nx→x0(x−x)0n即R(x)=o[(x−x)].n0皮亚诺形式的余项n(k)f(x0)kn∴f(x)=∑(x−x0)+o[(x−x0)]k=0k!注意:1.当n=0时,泰勒公式变成拉氏中值公式f(x)=f(x

7、)+f′(ξ)(x−x)(ξ在x与x之间)0002.取x=0,0ξ在0与x之间,令ξ=θx(0<θ<1)(n+1)f(θx)n+1则余项R(x)=xn(n+1)!麦克劳林麦克劳林((MaclaurinMaclaurin))公式公式(n)f′′(0)2f(0)nf(x)=f(0)+f′(0)x+x+"+x2!n!(n+1)f(θx)n+1+x(0<θ<1)(n+1)!(n)f′′(0)2f(0)nf(x)=f(0)+f′(0)x+x+"+x2!n!n+O(x)简单的应用简单的应用x例1求f(x)=e的

8、n阶麦克劳林公式.(n)x解∵f′(x)=f′′(x)="=f(x)=e,(n)∴f(0)=f′(0)=f′′(0)="=f(0)=1f(n+1)xeθx注意到(θ)=代入公式,得x2xneθxx=1+++++n+1(0<<1).ex"xθ2!n!(n+1)!2nxxx由公式可知e≈1+x++"+2!n!估计误差(设x>0)eθxexn+1n+1R(x)=x