必修4第2章：平面向量

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1、教材分析与建议平面向量高中新课程数学(四)第二章一、平面向量的概述平面向量的实际背景及基本概念《标准》表述《大纲》要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量（一）《标准》表述与《大纲》要求的比较向量的线性运算《标准》表述《大纲》要求①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的线性运算性质及其几何意义．①掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义．②掌握实数与向

2、量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件．③会进行向量的线性运算．平面向量的基本定理及坐标表示《标准》表述《大纲》要求①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件平面向量的数量积《标准》表述《大纲》要求①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数

3、量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．①明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义②明确向量b在向量a的方向上的投影③掌握数量积的公式，能进行数量积的运算④明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件．向量的应用《标准》表述《大纲》相应的要求经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．掌握平面两点间的距离公式、掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，

4、并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题（二）本单元教材特点重视背景，重视过程，重视应用强调向量法的基本思想明确向量运算及运算律的核心地位重视向量的几何意义的运用适当删改，降低难度（三）本单元知识结构二、内容分析（一）平面向量的实际背景及基本概念1.向量的物理背景与概念▲向量的引入▲向量的概念2.向量的几何表示▲向量与有向线段的关系ABa▲特殊向量●零向量●单位向量▲平行向量3.向量的相等与共线向量▲相等向量▲共线向量▲向量的表示（二）向量的线性运算▲引入向量线性运算的必要性1.向量加法运算及其几何意义▲向量加法运算的引入●生活实际●物

5、理实例▲向量加法的定义●从图形理解定义性的合理性●理解两种定义的统一性●两种定义的使用●向量的拆分▲向量模不等式▲利用向量的几何意义理解向量加法的运算律深化对向量加法几何意义的理解2.向量减法运算及其几何意义▲向量减法运算的定义▲向量减法的几何意义●向量a-b的指向●从数与形两个角度认识向量的加法与减法的统一性●向量a-b的做法3.向量数乘运算及其几何意义▲引入的必要性、归纳定义●认识λa的方向与长度例.求与a向量方向相同或相反，长度为2的向量.▲向量数乘的运算律▲向量共线的条件：设a≠0，若a、b共线，则有且只有一个实数λ，使b=λa●正确理解向量的

6、共线●正确理解，会应用●提供了判断平面上三点的共线的方法●(1)巩固数乘运算；(2)为下节平面向量基本定理做准备●例.(1)角平分线的向量表示；(2)做出互相垂直的向量以这两个向量为临边做平行四边形OABC（三）平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理▲平面向量基本定理的引入与证明●引入1～3●通过作图理解定理●●向量夹角的概念2.平面向量的正交分解及坐标表示▲引入的必要性▲引入1，引入2▲形成的过程▲难点的突破理解向量i，ja=xi+yja=(x，y)3.平面向量的坐标运算为平面上两点距离公式铺垫方程思想，数形结合4.平面向量共线的坐标表示▲

7、会推导向量共线的坐标公式▲例8的处理▲选择性练习（四）平面向量的数量积1.平面向量数量积的物理背景及其含义▲概念的引入：(1)现实存在(2)数学内部运算的完整性▲定义：◆数量积a·b的值的理解◆a在b方向上的投影的理解▲数量积a·b与实数运算的区别：▲实数的乘积与向量的数量积的对比：实数的乘积与向量的数量积相同的部分实数的乘积向量的数量积运算结果一个实数一个实数交换律ab=baa·b=b·a(λa)b=λ(ab)=a(λb)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)c=ac+bc(a+b)·c=a·c+b·c平方展开(a±b)2=a2±2

8、ab+b2(a±b)2=a2±2a·b+b2(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)·(a-