弹性力学问题一般解·空间轴对称问题

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1、第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的简化，作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决，我们只是在平面问题中进行了检验。§8-1弹性力学问题的一般解一、位移法现在我们将对一般空间弹性力学问题的解法给予理论分析，并举出解法实例。在一般求解边值问题时，按照未知量的不同有位移法与应力法，下面分别来进行讨论。若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移来表示。现在来进行推导：将式(4-2)代人式(4-6)得再将式(a)对j取导后再代人式(4-1)得（4-1）同理，并采用Laplac算符如物体内质点处于运动状态，式(8

2、-1)也可写为当体力不计时，有式(8-2)(用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为上述式(8-3)或式(8-4)称为Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（纳维叶）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式(8-3)的推导过程是平衡方程、几何方程及本构方程的综合，因此以位移形式表示的平衡(运动)微分方程是弹性力学问题位移解法的基本方程。Lame方程在弹性波动力学问题中是极为重要的理论基础。由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分Lame方程。(式中为函数沿物体表面法线n的方向导数)，其展开式为其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导

3、如下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得所求问题的边界条件给定的是边界上的位移，则可直接进行计算。如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件，就要将应力形式的边界条件转换成为位移形式。解:以xy为边界面，取z轴垂直向下。采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z轴，则各点位移只在z向有变化。试假设因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出而例8-1设有半空间无限体，容重为p，在上边界上受均布压力q，求体内的位移和应力。体力分量如图8-1所示。面力分量在z=0处,于是式中A、B为积分常数。边界上边界条件式(8-6)前两式自然满足

4、，因为只与z有关。其第三式为又将式(3)代入式(4)得，再代回式(3)，得为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即，则由式(5)得于是，式(3)给出的位移为将换成来表示，则位移解答为显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答二、应力法以应力作为基本未知量，需将泛定方程改用应力分量表示。应力方程可由应变协调方程(4-4)和平衡微分方程(4-1)，用应力应变关系就可得到用应力表示的应变协调方程。不过也可从位移方程，即已求得的Lam

5、e方程式(8-1)出发来推导：第一步，先将Lame方程转变为三个正应力和的关系式，供以下推证使用。将式(3-27)和式(3-28)代人式(8-1)得将式(d)简化，可得使式(e)对k取导，则再将式(f)乘以以(展开式相加)，可得由于，再使；前两项合并，得令，由式(4-12)知，化简则有第二步，再由Lame方程，利用几何方程与虎克定律得到应力公式。再按式(f)改变下标符号，可写出以下两式将式(j)及式(k)相加，得出利用式(4-5)，式(1)中，简化后得由式(i)并将下标符号i改为k可得于是有其展开式为（用应力表示的协调方程）6个方程可以解6个应力分量）由，式(8-10)可写成当不计

6、体力时，有式(8—12)和式(8—13)称为Beltrami—Michell(贝尔特拉米—米歇尔)方程，也即应力协调方程。由此，用应力法解弹性力学问题归结为按给定边界条件满足平衡微分方程(4-1)和协调方程。注意到：Beltrami—Michell方程是以应力形式表示的变形协调方程，并且在推导中虽然用到了平衡方程(此处引用Lame方程推出)，但推导中进行了对平衡方程的求导[见式(f)]已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考虑平衡方程，于是得出上述应力法求解的结论。下一节我们举等截面悬臂梁的弯曲为空间问题按应力求解的实例。现在我们来讨论两种求解方法的特点：按位移法求解弹性力学问题时，

7、未知函数的个数比较少，仅有三个未知量、、。但必须求解三个联立的二阶偏微分方程。应力法系以六个应力分量作为基本未知函数，用应力法虽然比位移法多了三个，而得到比位移法更复杂的方程组，但由于用应力作为未知函数后，边界条件比位移法简单得多，所以对于已知表面力边界的问题，用应力法所得的最后基本方程式，在多数实际问题中反而比位移法简单而且容易求解。应该指出，用位移法解弹性力学问题时，在满足位移表示的平衡方程及边界条件求得物体各点位移后，用几何条件得出应变分量，则变形连续条件自行满