平差数学模型与最小

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1、第二章平差数学模型与最小二乘原理§2-1测量平差概述在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求定另一些点的高程

2、等等。这也充分说明要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。随着几何模型的不同，它所需要知道的元素的个数与类型也有所不同，要唯一地确定几何模型，就必须弄清楚至少需要观测哪些元素以及哪些类型的元素。例如：⑴如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小就可以了，如、或、或、等。它们都是同一类型的元素。⑵要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是

3、三边。如：或或等，它们中间都至少包含一条边长，否则只能确定其形状，而不能确定其大小，该情况包含两类元素（角度和边长）。⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素中的6个不同的元素，当然，这6个元素可以构成更多的组合，但不论哪一种组合，都至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这

4、就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几

5、何模型有关，与实际观测量无关。必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模型有关，与实际观测量无关。一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如之间，其中不可能表达成的函数，除非再增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。在测量

6、工作中，为了求得一个几何模型中的几何量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个，当观测值个数小于必要观测个数，即nt，设：r=n-t(2-1-1)式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫自由度。既然一个几何模型能

7、通过t个必要而独立的量唯一的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因此，一定也存在着r个这样的函数关系式。例如在上述⑴中，t=2，如选为必要观测量，假设现在又观测了，则它们的真值之间就存在一个确定的关系：(2-1-2)再如上述⑵中，如果观测了角度、、和边长，即n=5,t=3,则r=2,它们的真值之间也存在如下关系式：(2-1-3)(2-1-4)由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函

8、数关系式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式，在测量平