平面选址问题概述

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1、第卷第期运筹学杂志】年月工卫人了住刊丑平面选址问题概述张天踢山东大学,“”,选址向题就是关于为需要设置的设施选择最优位置的问题例如要在一个系统中、、、、、、、··,设置一个或若千个工厂车站仓库商店电话交换台医院急救站消防队⋯或在一个,电子线路系统里布置元件自然都应考虑选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳在许,,多工程设计管理中或者某一项系统的设计计划本身就是一个典型的选址问题或者以选址,、问题作为一个子间题这种一般意义下的选址间题可能是非常复杂的涉及到自然的社会、、的时间的空间的各种复杂条件对不同的实

2、际问题可以有十分不同的衡量优劣的标准,,、、即使同一个实际间题从不同角度去看也可能有不同的衡量标准当涉及到如政治军事,美学等因素时甚至难以用数量表示其衡量标准本文仅限于介绍几种有明确的数学模型,以供对此有兴和切实可行的解法的典型选址问题趣的读者应用或从事理论研究的参考因,、为网络上的选址问题已另有文章介绍故这里只涉及平面上的并分作中位问题中心问题两,大类由于篇幅所限其他类型的选址间题本文不能一一介绍,选址间题作为一个特殊的最优化间题近二十多年来引起了国际上许多数学家的兴趣〔,,,。国内也有一些人研究过它

3、目前有关的文献数以千计多数是关于算法方面的关于应用方面的文献较少综述文章有、〕、、,、这些典型选址间题虽然是限于静态的单目标的确定性的但它们是处理其他动态的、,多目标的随机的实际选址间题的基础对于一些复杂的选址问题还有许多未解决的间题关于动态选址的综合文献可参看以匆、一平面中位问题。‘,一,,,。,。,个称为倾客的点的全体记为⋯给定这个点的位置和权哟〔,夕个称为“”,“目标”“”要求选择目标的点的位置使得各与分配给它的顾客间的赋权距“”“”离总和最小这里赋权距离是顾客了到目标的距离与哟的乘积,“”“’夕

4、中位间题可以有许多实际背景一般地说可以把顾客的权哟理解为它要目标服“”“”务或为目标服务的量距离是提供单位服务所需的费用一般这个费用与两者的距离,“”,“”成比例所以理解为距离间题是选择目标集合凡的点的位置同时合理地分配顾客“目”,给标使服务系统的总费用最小夕,根据值的不同和采用的距离度量方式的不同以及其他附加条件产生了各种不同的中位问题,本文年月日收到。期平面选址问题概述一平面欧氏距离单中位问题“,,,“给定顾客的平面坐标勾和俩,了〔了欧氏距离单中位间题是决定一个目”,驹使得它是标的位置叫下列间题的解

5、一器舞潺哟,‘,牛〔二一构“一,,叭其中匆助〕的最优解约叫做中位点·,这一无约束最优化间题的目标函数哟“,当顾不共线时是严格凸的介戳割掣共线,“”时是凸的因此局部最小点也是整体最小点当各顾客共线时是后面的矩式距离单中,,,位的特例我们先假定,个已知点不共线在已知点俩幼夕〔了处不可微在其余点处都可微中位点落在己知点中某一个纵,纵上的充要条件是以,生目“,。、“、区晨弋介了懊气产里一勺一肠,夕,一约玄。其中内一〔勺这样就可以利用检查个已知点中是否有中位,,点如果它们都不是中位点中位点应是一个逗留点即应有二,

6、、一、选乙一。留馨彩,、一、一翻蒸,也就是殉约应满足导哟,和亦牵暮州叼,编一馨哟州叼层哟心,,邵年猜想从任意初始点衅嘴开始按如下公式’一‘哟为‘哟叱,馨属‘一“尽哟幼风户馨哟‘,,,艺一,,,,,甸,得一序列端瑞,⋯它收敛于中位点伽中,是端咙与幼间的欧氏距,、离年幻〔〕指出这种迭代法在实用中总是收敛于中位点在理论,,·上中指出了这种迭代法正是步长为哟的最速下降法并证明了收敛性卜属心,云。〔使,,,估计了收敛速度当迭代过程中遇到某个和帆咙气纵时〔均指出这时目标函数的速降方向为,之,。,,艺。迁么一少,式一

7、曰,己」已甩产勿八,并‘‘手夕。。了了不匀。”并指出可用如下公式继续迭代—。⋯才一‘“一习哟和一约一叨万乒不叮”皂羊、一、一一二一、口“’竺,、一”。一”乞哟妈,氰熬黔兴才话了运筹学杂志卷,‘,,」也提出了遇到这种情况时计算端蜕的公式另外〔给出证据说明礴弱,子八,编,戚邪猜想俩卯是罕见的这些理论结果与〔幻及〔司的经验一致说明,的迭代法正确可行句还提出一种最速下降法只是与前者采用不同的步长公式而已,对这类问题〔〕详述了静力模拟法和切割法模拟法用力学方法为数学方法的推导“”,提供了思路切割法根据中位点一定在

8、各顾客点的凸包内这一明显的结论用几何作图,法实现迭代法的逼近过程句对中位问题的性质和解法作了概括对目标函数及其梯度、的力学几何及解析的意义结合起来进行了讨论二平面矩式距离单中位问题,在式中若目标函数里的距离丙改为二二,,丙一】一,一夕,就得到平面矩式距离单中位问题这类问题也可以在任意。维空间里讨论它比较容易求,,解而且中位间题的最优解相对于不同的距离度量方式差异不大所以有时即使矩式的不比,,欧氏的距离更合理但为了计算简便宁肯采用矩式距离模型