函数的单调性及最值

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1、要点梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f（x）的定义域为A,如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1f(x2)区间I(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间I上是______或______,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,_____叫做f(x)的单调区间.2.函数的最

2、值(1)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数M,满足:①对于任意的x∈A,都有_________.②存在x0∈A,使得________.则称M是f(x)的最大值.(2)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数M,满足:①对于任意的x∈A,都有_________.②存在x0∈A,使得_________.则称M是f(x)的最小值.增函数减函数区间If(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M3.判断函数单调性的方法(1)定义法:利用定义严格判断.(2)利用函数的运算性质:如若f(x)、g(x)为增函数,则①f(x)+g(x)为增

3、函数.②为减函数(f(x)＞0).③为增函数(f(x)≥0).④f(x)·g(x)为增函数(f(x)＞0,g(x)＞0).⑤-f(x)为减函数.(3)利用复合函数关系判断单调性.法则是“________”，即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为______,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为______.(4)图象法.(5)奇函数在两个对称的区间上具有____的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有____的单调性.(6)导数法①若f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时，f(x)为__函数;当f′(x)<0时

4、,f(x)为__函数.②若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时,则f′(x)___0;当f(x)在该区间上递减时,则f′(x)___0.同增异减增函数减函数相同相反增减≥≤基础自测1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是_____.①y=-x+1;②y=③y=x2-4x+5;④解析y=-x+1在R上递减；y=在R+上递增;y=x2-4x+5在(-∞,2］上递减,在［2,+∞)上递增,在R+上递减.②2.(2010·镇江调研)若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间(-∞，1]上是减函数,则a的取值范围是____

5、_.解析∵f(x)是二次函数且开口向上,∴要使f(x)在(-∞,1］上是单调递减函数,则必有≥1,即a2-4a+3≤0,解得1≤a≤3.[1,3]3.函数y=1-的增区间为________________.解析函数图象如图所示.(-∞,1)和(1,+∞)4.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上最大值为3,最小值为2,则m的取值范围为______.解析∵f(x)=(x-1)2+2,其对称轴为x=1,当x=1时,f(x)min=2,故m≥1,又∵f(0)=3,∴f(2)=3,∴m≤2.综上,1≤m≤2.［1,2］【例1】已知函数证明

6、：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x10,典型例题深度剖析又∵x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法二求导数得∵a>1,∴当x>-1时，axlna>0,∴f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三∵a>1,∴y=ax为增函数,又在(-1,+∞)上也是增函数.∴在(-1,+∞)上为增函数.跟踪练习1(2010·淮阴模拟)证明:f(x)=x2-2x在区间(1,+∞)上

7、是增函数.证明方法一设x1,x2是区间(1,+∞)上的任意两个值,且x1x1,∴x2-x1>0.又∵x1、x2∈(1,+∞),∴x2>x1>1,即有x1+x2>2,∴x1+x2-2>0.∴f(x2)-f(x1)>0,即有f(x2)>f(x1).故f(x)=x2-2x在(1,+∞)上是增函数.方法二利用导数f′(x)=2x-2=2(x-1).∵x>1,∴f′(x)>0.∴f(x)在(1,+∞)上为增函数.【例2】求函数f(x)=loga(2x2-

8、5x+3)的单调区间.解由2x2-5x+3>0,解得x<1或x>∴函数的定义域是{x

9、x<1或x>}.令u(x)=2x2-5x+3,由二次函数的图象可