定圆的最小外切三角形

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1、中学生数学·2O1O年5月上·第393期(高中)定画的最小外三角形安徽省泾县二中高二(5)(242500)来海潮指导教师花大庆在一次课外兴趣小组活动中，我向老师提积．求出了面积的函数表达式之后，再用函数了这样一个问题：的性质等有关知识去解，看行不行?半径为定值的圆的外切三角形中，以什么第二天，我给出了如下的证明：样的三角形的面积最小?结论是：证法二‘．‘tam一，tan5一，半径为定值的圆的外切三角形中，以等边三角形的面积最小．怎样证明这个结论?．一=：=一一，老师给出如下证法：如图，设圆半径为tan2p=．r，BD—，CE—，AFl一IBD—，ICE作△ABC的高AH，则，一，IAF一)

2、，，△ABCBH一，cH一．的面积为S，周长的一B·BH~CH=BC一_AHAH半为S，则．．T，1(25一z+2+2)一++．·AH一]_BC．．证法一由海伦公式得tan2atan2flz+S一~／s(s—z—)(——)(——)—一、／／(++z)xyz．2rx2ry又2rxy．——1Y—rs一÷sr一(++z)r，·S=IBcAH=I(·．．z+)．‘．．~／(++z)xyz一(++)rz一(++)r一Sr，即s一—rx—y(x~y)T，r，，．y>O，其中r为定值．寸V一。．。S一(z++z)，．≥3·r一3·r，s一≥．zY—r5c．y—。．．s≥3√3r．一令一，得，等号当且仅当

3、—Y—z即△ABC为等边oZ"V——rf——r三角形时取到．记)一，还有什么好的证法吗?老师给了这样的提示：因为一旦确定了，·．．．Y，r，△AlBC的形状、大小就随之确定，所以以z，，r为基本量，用，，r去表示△ABC的面N]tlk：zxss．chinajournal,net．cn·47·电⋯@naj⋯“。中学生数学·2010年5月上·第393期(高中)．1由例题想到的中河北省乐亭第一中学高三(9)班(063600)阚澎涛学寸指导教师王作I顷侯益言土在课本第一册(下)第135页有一个近乎经且根据梅涅劳斯定理：习r-Z'A十zB1-ZCLCEIfXG一————一，lCAl·lFB1·IDE

4、l_1”，作典的重心坐标公式，也就是j．．np+nql。一蔓，一———lDEImq【J我看到之后一直在想，是不是三角形内其它的·z。一．．弈口十7"lP-f．”口．点也可以用A，zB，c；YA，B，(、表示呢?经过我不懈的努力，x~+2g-xc．．’gzA+户z一—还真得出了一个结论性·肌古1—L一。，的式子．如图，在△ABC中，··CF、BE交于点D。f．z。一嘉口_rI口—广行p．其中丽IAFI一，丽IAEt一詈．同理可得。一·rqlr+十”p也可以先根据定比分点坐标公式得到E、lmq-~-nqq：-np’F坐标，再由两点式确定BE、CF方程并联立，l⋯一翌垡±±!空不过，这样做运算比

5、较麻烦．1mq十nq十”由此可见，我们应该重视课本，从课本上其证明过程如下：的一道例题也可引伸出更多东西．．．jAFJ一JAEJ—。IFBl”’lEClq’(责审余炯沛)(上接第47页)取到最小值，最小值为3√3r．令厂(￡)=0，得t一√3r．此时，t。一r一，t：：：三一，得：’J2oo．．’当o,／3r时，f(￡)>O，_厂(￡)为增函数．等边三角形．．．当t一√3r时，_厂(t)取到最小值，最小半径为r(定值)的圆的外切三角形中，以等值为等．边三角形的面积最小，且面积最小值为3√3

6、．证法二用的知识和方法完全是我们高二同学能理解和应掌握的，多想一些方法对提高我们的解题能力大有裨益．一厂(￡)≥3。．(责审余炯沛)当且仅当x=y-z—一西时，s一网址：ZXSS．chinajourna1．net．cn●48●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn