奥数:排列组合的基本理论和公式

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1、一、排列组合的基本理论和公式,排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关。如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合。(一)两个基本原理是排列和组合的基础:(1)加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。(2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同

2、的方法。这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理。这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来。表示从5个元素中取出3个,总共有多少种不同的取法。这是组合的运算。例如:从5个人中任选三个人去参加比赛,共有几种选法?这就是从5个元素中取出3个的组合运算。可表示为。其计算过程是=5!/[3!×(5-3)!]叹号代表阶乘,5!=5×4×3×2×1=120,3!=3×

3、2×1=6,(5-3)!=2!=2×1=2,所以=5!/[3!×(5-3)!]=120/(6×2)=10针对上面例子,就是从5个人中任选三个人去参加比赛,共有10几种选法。排列组合公式:公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。n—元素的总个数;r—参与选择的元素个数。!—阶乘,如    9!=9×8×7×6×5×4×3×2×1。举例:Q1:    有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数?A1:     123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。上问题中,任何一个号码只能用一次,显

4、然不会出现988,997之类的组合,我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9×8×7个三位数。计算公式==9×8×7。Q2:    有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”?A2:     213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数=9!/3!×6!=9×8×7/3×2×1

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