最大公因子封闭集上的幂LCM矩阵和LCM方程

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1、致谢本文是在导师洪绍方教授的悉心指导下完成的．在这三年以来，他对作者的学习以及本文的写作都进行了悉心指导，提出了大量宝贵的意见和建议。他严谨的治学态度，渊博的知识和对数学研究的精辟见解，使作者对从事的数学研究工作有了更深刻的认识，这对作者以后的科研和教学工作都将起到巨大的影响，使作者获益匪浅．在此，作者向导师表示深深的谢意。作者感谢孙琦教授，张起凡教授和彭国华教授的关心和帮助．作者感谢曹炜，周兴旺，赵建容，杨勇，在一起攻读硕士学位期间我们相处融洽，互相帮助．作者感谢四川大学数学学院提供良好的科研环境．作者感谢自己的家人，正是他们的支持，帮助

2、，才使作者能完成硕士学业．四川大学硕士学位论文设S={zi，⋯，Xn}是由n个不同正整数组成的集合．设，是算术函数，【，(q，茁，)J是礼×n矩阵，它的第砰亍J列元素是f在-(x。q)处的取值，其中(zl，q)是8和％的最大公因子．(，k，q】)是nxn矩阵，它的第汗功列元素是，在k，q】处的取值，其中陋。茹jI是墨和。内最小公倍数如果对任何一个。∈S，z的因子都在S中，那么称S是因子封闭的(factor-close∞．显然，对任意一个正整数n，集(1，2，⋯，n}是因子封闭的．如果对所有的1Si，jSn有(双，。，)∈S，那么就称S是最大

3、公因子封闭酗J(gcd-closed)．显然因子封闭集一定是最大公因子封闭的，但反之不然．例如，S=fl，3，5，6，24}是最大公园子封闭的但不是因子封闭的．Smith【25】证明7如果S={zh．．，z。}是因子封闭的，那么有detIf(xl，q)1=n：：，(f+p)(。k)、这里p是熟知的麦比乌斯(M5bius)函数，f+p是，和肛的狄利克雷'(Diriehlet)乘积．显然有det[f(i，j)]=(f+p)(1)(，+肛)(2)⋯(，：Itp)(札)．Apostol[I】在1972年推广了Smith的这个结果．他证明了如果，和9

4、是算术函数，并且对正整数t和r，p定义为：卢(t，r)：=F，(d⋯r；)，d—l(t—,r)o那么nxn矩阵LO(i，j)】的行列式为：det[／3(i，j)】=b(1)]“，(1)⋯，(n)．Apostol也注意到这个结论：det[C(i，J)】=州，其中c(t，r)是Ramanuj锄和．在1986年McCarthy[24]把smim和Apostol的结果推广到了模r的偶函数上．他计算了n×n矩阵p(i，，)J’其中p(t，r)是t(modr)的偶函数．Bourque和Ligh[9]在1993年把Apostol，Smith和McCart

5、hy这三人的结果推广到了某类二元算术函数上．Bourque和Ligh计算了定义在因子封闭集s上的n×n矩阵旧(q，zj)]的行列武，其中p(t，r)是t(modr)偶函数．在1999年洪绍方【15J改进了Bourque和Ligh在1993年所考虑的矩阵行列武的下界，而在2002年洪绍方【16]又把smith，Apost01，McCarthy，Bourque和Llgh的结果推广到了某类算术函数．特别地，洪绍方[16]给出了定义在最大公因子封闭集s上的n×n矩阵p(。。，z，)1的行列式计算式．Bourque和Li曲[8】计算了定义在因子封闭集

6、S={22l'．，z。)上的n×n矩阵(，k～，】)的行列式为：det(f[xl，xj])=[I：--，，(≈)2(71；p)(孔)，其中乘法函数，(z)∈R一{o)，四川大学硕士学位论丈xeNONz∈s，肛是麦比鸟斯函数且算术函数：定义如下：抄{≥篇㈤劬洪绍方【16】给出了定义在最大公园子封闭集s={zt，．．，z。}上的n×n矩阵(fix,，q】)的行列式．2设e为实数．第i行J列元素由乱和q的最大公因子的e次幂(就一，)。构成的n×n矩阵{(甄，zj)。】称为定义在s上幂GcD矩阵，简记为【(s。)】，e=1时则称曼4GCD矩阵．第计

7、功列元素由≈和％的最小公倍数的e次幂【墨，q】。构成的n×n矩阵(pi，zjt6)称为定义在s上的幂LCM矩阵，简记([p】)，P=1时则称为LCM矩阵．Smith的一个著名结果是说定义在因子封闭集上的nx7／,GCD矩阵[(≈，o，)1的行列式等于兀：，妒(姐)，其中妒是欧拉函数．smim也证明了定义在因子封闭集上的n×nLCM矩阵【(甄，q)1的行列式等于n翌。妒0‘)w@t)，其中妒是欧拉函数，Ⅱ是一个积性函数，定义为7r(矿)=～P，其中P是素数．从这些结果我们就知道：若s=扛1，⋯，z。}是因子封闭集，那么定义在s上的GcD矩阵f

8、(≈，≈)j和LcM矩阵【(％，巧)提非奇异的．Beslin乖aLigh[3]it明了定义在最大公因子封闭集S={z¨．，贯。)上的GcD矩阵【(墨，％)】的行列武等于：n：：1