2014年福建省高一数学竞赛-参考答案

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1、2014年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】时，，符合要求。时，，。由知，。，解得。∴的取值范围为。2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】设圆锥底面半径为，母线长为，则，。又。因此，，。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。所以，其内切球半径，其体积。3．函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】由，知，。∴，。又，因此，。值域为。1

2、14．给出下列命题：（1）设，是不同的直线，是一个平面，若，，则。（2），是异面直线，为空间一点，过总能作一个平面与，之一垂直，与另一条平行。（3）在正四面体中，与平面所成角的余弦值为。（4）在空间四边形中，各边长均为1，若，则的取值范围是。其中正确的命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】（1）显然正确。（2）若存在平面，使得，，则。但，是未必垂直。故不正确。（3）作于，则为正三角形的中心，是与平面所成角。设，则，。故，（3）正确。（4）取中点，则。由、、构成三角形知，。故，（4）正确。5．已知是定义在上的奇函数，且对任意，均有，当时，

3、，则函数在区间上的零点个数为（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】D【解答】由知，，或。∴在区间内有唯一零点1。结合为奇函数知，在区间内有唯一零点。又由知，在区间内有唯一零点2；在区间内有唯一零点4；在区间内有唯一零点5。11又由，知，，。又。∴在区间上的零点个数为9。6．已知函数。给出下列四个判断：（1）的值域是；（2）的图像是轴对称图形；（3）的图像是中心对称图形；（4）方程有解。其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】设，，，则。（1）∵，与轴不相交（即、、三点不共线）。∴等号不成立，的值域是。（1）不正确。（2）∵，∴，

4、的图像关于直线对称。（或从几何图形上看，当与关于点对称时，）。（2）正确。（3）显然不正确。（若（3）正确，则结合（2）可得为周期函数，矛盾。）（4）∵，又，∴方程有解（是方程的解）。（4）正确。11二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知集合，，若，则实数的取值范围为。【答案】【解答】问题等价于圆在菱形内部（不含边界）。∴，且圆心到直线的距离。∴。8．如图，在等腰直角三角形中，，、分别为、的中点。将沿折起，使得折起后二面角为。则折起后四棱锥的体积为。【答案】【解答】由条件知，在四棱锥中，，。∴是二面角的平面角，且。∴，且。作于，则。由知，为正三角形，。∴四棱锥

5、的体积。9．已知函数的图像关于点对称，则点的坐标为。【答案】【解答】由函数定义域为；值域为。猜测点坐标为。下面给出证明：11∵。∴的图像关于点对称。10．中，已知，若，则面积的最大值为。【答案】【解答】以中点为坐标原点，直线为轴建立直角坐标系，则，。设。则由，知。整理，得。∴点在以为圆心，半径为的圆（除与轴的交点）上运动。∴点到直线即轴距离的最大值为。∴面积的最大值为。11．已知二次函数，若对任意均有成立，则的最大值为。【答案】8【解答】，，，，，。∴，当且仅当，即时，等号成立。∴的最大值为8。12．不等式的解集为。【答案】【解答】不等式化为………①11；或………

6、②。由，得，由于函数为增函数，且。所以，不等式①的解为。由，得。设，。如图，在同一坐标系内作函数与的图像，它们有两个交点，()，其中，。所以，②的解为。由①、②可知，不等式的解集为。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．（本题满分16分）求二次函数在区间上的最小值的表达式。【解答】。当时，，在区间上的最小值为。……………4分当时，。若，即时，在区间上的最小值为。……………8分若，即时，在区间上的最小值为。………………………12分若，即时，在区间上的最小值为。∴。………………………16分1114．（本题满分16分）已知两

7、个同心圆：和：，圆上一点。过点作圆的两条切线，切点分别为、。（1）若点坐标为，求四边形的面积。（2）当点在圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由。【解答】（1）依题意，，，且，。∴。∴四边形的面积为。…………………4分（2）设，则。当点在圆上运动时，恒有。∴点、在以为圆心，为半径的圆上。该圆方程为。……………………8分又点、在圆：上。联立两圆方程，消二次项，得。即。∴直线方程为。…………………12分∵原点到直线的距离为定值。∴圆恒与直线相切。∴存在定圆恒与直线相切，定圆方程为。………………16分注：本题也可以用平面几何方

8、法求解：设