奥数专题之平面几何

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1、第一讲三角形中的心一、重心1.定义：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.2.性质：（1）重心到顶点的距离是其到对边中点距离的2倍；（2）重心与三角形任意两个顶点组成的三个小三角形的面积相等；（3）重心到三角形三个顶点距离的平方和最小；（4）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则①②.二、外心1.定义：三角形外接圆圆心叫做三角形的外心.2.性质：（1）外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形各顶点距离相等；（2）设R为三角形ABC的外接圆半径，则；三、垂心1.定义：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心；2.性质：（1）三

2、角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；注：（1）欧拉线：三角形的外心O、重心G、垂心H三点共直线（欧拉线），且GH=2OG．（2）欧拉公式(定理)：设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d2=R2－2Rr．注：欧拉不等式R≥2r．四、内心1.定义：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．2.性质：（1）内心是三角形三条角分线的交点，即内心到三角形各边距离

3、相等；（2）设内切圆⊙I的半径为r，⊙I切AB于点P，AI的延长线交BC于N，交△ABC外接圆于点D，则①；②DB=DI=DC；③；五、旁心1.定义：三角形旁切圆的圆心叫做旁心．2.性质：（1）旁心是三角形的一内角平分线与两外角平分线交点；（2）设△ABC的旁切圆圆心分别记为，其半径分别记为．则（对于顶角B，C也有类似的式子）；.第5页例1点A在∠KMN的内部，点B在KM上，点C在MN上，如果∠CBM=∠ABK，∠BCM=∠CAN，求证：△BCM的外心在AM上．例2（2002第23届IMO试题）已知BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，0°

4、<∠AOB<120°，D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平行于DA的直线交AC于I，OA的垂直平分线交⊙O于E，F，证明：I是△CEF的内心．例3已知在等腰△ABC中，CD是∠BCA的角平分线，O是它的外心．过O作CD的垂线交BC于点E，过E作CD的平行线交AB于点F，求证：BE=FD．第二讲几个重要定理一、梅涅劳斯（Menelaus）定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R，则有．注：梅涅劳斯（Menelaus）定理的逆定理也成立，即由可推P、Q、R三点共线．二、塞瓦(Ce

5、va)定理：设P、Q、R分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AP、BQ、CR所在直线交于一点，则．例4（1996年全国高中数学联赛试题）设⊙O1与⊙O2和△ABC的三条边所在直线都相切，切点分别为E，F，G，H，直线EG与FH交于点P，求证：PA⊥BC．第5页例5一个圆与△ABC的三边BC、CA、AB所在直线分别相交于点P与P/、Q与Q/、R与R/，如果AP、BQ、CR三线共点，求证：AP/、BQ/、CR/三线共点或互相平行．三、西姆松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，

6、设其垂足分别是D、E、F，则D、E、F共线，（这条直线叫西摩松线）．例6(2003年IMO试题)设四边形ABCD是一个圆内接四边形，从点D向直线BC,CA和AB作垂线，其垂足分别为P,Q和R，求证：PQ=QR等价于∠ABC的平分线，∠ADC的平分线和AC这三条直线相交于一点．四、托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形ABCD对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC．注：（1）逆命题成立；（2）（广义托勒密定理）在凸四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．例7（1998年IMO预赛试题）设M

7、，N是△ABC内部的两个点，且满足∠MAB=∠NAC，∠MBA=∠NBC，求证：五、根轴定理根轴：到任意的两个圆(不是同心圆)的幂相等的点的集合是一条直线，这条直线称为这两圆的根轴．根轴定理：根轴是一条垂直于两圆连心线的直线．注：若两圆相交，则根轴就是两圆公共弦所在直线；若两圆相切，则根轴就是两圆的公切线所在直线．第5页例8(2001年全国高中数学联赛加试试题)已知在△ABC中，O为外心，三条高线AD,CE,CF交于点H，直线ED和AB交于点M，直线FD和AC交于点N，求证：（1）OB⊥FD，OC⊥DE；（2）OH⊥MN．例9设⊙O与直

8、线l相离，作OP⊥l，垂足为P，点Q是直线l上不同于P的任一点，过点Q作⊙O的两条切线QA，QB，切点分别为A，B，AB与OP相交于点K，过点P作PM⊥QB，PN⊥QA，垂足分别为M，N，求证：直线MN平分