多项式习题精解

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1、第一章多项式多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其他章节。换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系，却可为其他章节的内容提供范例与理论依据。本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。对于多元多项式，则主要讨论字典排列法与对称多项式。一重难点归纳与分析(一)基本内容概述多项式理论又分为一元多项式与多元多项式两大部分，其中一元多项式主要讨论：1．一元多项式的基本概念与基本性质：主要讨论数域的概念、一元多项式的定义与运算规律。2．一元多项式的整除性理论：主要讨

2、论带余除法与余数定理、整除的基本概念与基本性质、最大公因式和互素的基本概念与基本性质。3．一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。4．一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根的个数定理。多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。（二）重难点归纳本章的重点为一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点为最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、最大公因式、互素及不可约多项式等概念的联系与区别。（三）题型归类与分析本章的基本题型主要

3、有：1．关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以确定多项式的次数及证明有关命题。2．关于一元多项式整除性理论，通常有多项式整除性的检验、最大公因式的求法、互素的判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。3．关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式的可约性判别、因式分解、重因式的判别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。4．关于一元多项式的根与重根，通常有根的检验及重根

4、的判别、根与系数的关系以及球多项式的根与重根等等，可利用辗转相除法、结式判别法、分离重因式法、艾森斯坦判别法等进行讨论，以及利用某些基本定理求解。5．关于多元多项式，通常有对称多项式化初等对称多项式的化法与对称多项式的应用，其中化对称多项式为初等对称多项式的方法主要有公式法、首项消去法及待定系数法；应用对称多项式，可以对具有对称多项式形式的线性方程组求解、进行因式分解、进行恒等式的证明及求多元多项式的零点。（四）综合举例例1设是一元多项式，是任意数，是非零数，试证：1）是常数；2）为常数）；3）。证上述命题的充分性显然，下证必要性。1）若不是常数，因是一元多项式，可设，并设个根，则于是也是

5、的n个根，再由韦达定律，有从而，与假设矛盾，即证是常数。2）在中，令，可得，于是是的一个根，从而有再令，得即证为一个常数，设其为，代入可得。3）若，则结论成立。否则由知只能是常数，设其为，则又因假设，，所以，即证。例2在中，设为任意的多项式，试证：证：由已知，可设则于是即是与的一个公因式。若是与的任意一个公因式，则由多项式的整除性质，可得。这表明，从而即还是与的一个首项系数为1的最大公因式，故有例2设是实系数多项式，且（1）（2）试证皆能被整除。证由可得再由，同理可证例3试问：2是否为一元多项式的根？如果是，它是几重根？解：考察2是否为或者的根时，可采用综合除法，得，。即知2不是的根，但2

6、是的根。进一步考察2是的几重根。求的各阶导函数。因为所以于是有从而知2是的三重根。例2设有一个三阶行列式试求此行列式，并将其表示成初等对称多项式的多项式。解：直接展开此三阶行列式，可得再由初等对称多项式则所求多项式中相应的初等对称多项式的方幂之积应满足下表：指数组对应的的方幂乘积300210111若令并取值代入上式可得从而所求初等对称多项式为例2求一个三元一次方程，使其三个根分别为另一个三元一次方程的三个根的立方。解设分别为方程的三个根，则于是由韦达定理，所求三元一次方程为二、习题精解1．用除，求商与余式：1）2）解1）由带余除法，可得2）同理可得2．适合什么条件时，有1）2）解1由假设，

7、所得余式为0，即所以当时有2）类似可得于是当时，代入（2）可得；而当时，代入（2）可得。综上所诉，当或时，皆有3．求除的商与余式1）2）解1）因为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。所以2）因为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。所以4．把表示成的方幂和，即表成的形式：1）2）3）解1）由综合除法，可得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。所以