线性代数论文 关于矩阵和行列式

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1、关于矩阵和行列式线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是：行列式矩阵空间向量和线性方程组。矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。行列式是一种特殊的算式,它是根据求解方程组个数和未知量个

2、数相同的一次方程组的需要而定义的，经计算能算出其数值，而矩阵只是一个数表，无法通过计算求得其值；而且两者的表示方法也不同。如下例：表示的是一个2阶行列式；而则表示是一个2×2的矩阵。而且可以通过计算求得其值为-2；而只能表示一个数表，不能求出值。行列式的行数和列数必须是相等的；而矩阵的行数和列数可以相等也可以不相等。由n2个数组成的n行n列行列式为n阶行列式；由m行n列组成的数表为m×n矩阵。只有行数和列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。如：是一个3×4的矩阵；而这样的行列式是不存在的，因此无法求其行列式。而且行列式和矩

3、阵的性质和运算法则也不同。如下：（1）记D=，DT=，则称DT为D的转置行列式，并有D=DT，行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立；同样的矩阵A的转置矩阵AT是指把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，即记A=，则AT=，但有（AT）T=A。且对方阵来说，=。（2）互换行列式的两行（列），行列式变号，例如：=-，因此可以推出——如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零，如：=0。（3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式，即行列式的某一行（列）中

4、所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。如：=；而(A为方阵)。（4）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。如：=0；把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变；如果行列式的某一行（列）的各元素都是两数之和，则此行列式为两个行列式的和。而矩阵没有这些性质。（5）在矩阵中，对调两行（列）；以数k≠0乘以某一行（列）的所有元素；把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去，称为矩阵的初等变换。如果矩阵A经过有限次的初等变换成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作

5、A~B。则有以下性质：①反身性：；②对称性：若，则；③传递性：若，，则。（6）在矩阵中有下列运算法则：A+B=B+A，（A+B）+C=A+(B+C)，-A为A的负矩阵，A+(-A)=0，A-B=A+（-B）（A、B为同型矩阵）；，，；当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵可以相乘，如：，，则，是一个4×4的矩阵，而，是一个3×3的矩阵，由此可见，A×B≠B×A；（但也有例外），（AB）C=A(BC)，A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA，，AE=EA=A；，（A是n阶矩阵）；（A+B）T=AT+B

6、T，（λA）T=λAT，（AB）T=BTAT。（7）D=，去掉所在的行和列得到M22=即为元素的余子式，A22=（-1）2+2M22，叫做的代数余子式，行列式的每个元素分别对应着一个余子式和代数余子式，再如去掉所在的行和列得到M12=，A12=（-1）1+2M12。而在矩阵中，定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵：称为矩阵A的伴随矩阵，且有AA=AA=E。因为对于一个n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使得AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记作A-1，则有(≠0)。在m×n矩阵A中任取k

7、行k列（k≤m，k≤n），位于这些行列式交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。如：矩阵A=，取其前2行和前2列得到A的2阶子式。（8）关于矩阵的初等变换：首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法，明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变，变换前后的矩阵间只是一种特殊的所谓等价关系（如，而不是等等）。还要能将行列式性质中提公因子、交换两行（列）与用常数乘某行（列）加到另一行（列）上去后的结果弄清楚，并可与相应方阵的初等变换进行对比。重要的是知道初等变换不改变矩阵的秩。（9）关于

8、逆矩阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由来定义（与互为逆阵），这是应用的基础。要记住方阵可逆的充要条件为以及关系式，二者有着重要与广泛的应用。要弄清的伴随方阵是矩阵的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。下面是如何用初等变换求逆矩阵：设设求解于是，（10）关于矩阵的秩：矩阵的秩是由解线性方程组