资源描述：
《第10讲 曲线曲面积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第10讲曲线积分与曲面积分(一)考纲要求:ò考试内容1．两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系,格林（Green）公式.2．平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数.3．两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式,斯托克斯（Stoke）公式4．散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用.ò考试要求1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2．掌握计算两类曲线积分的方法。3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4．了解两类曲面积分的概念、性质及
2、两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法.5．用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。6．了解散度与旋度的概念，并会计算。7.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)。(二)内容提要:1．第一、第二类曲线的定义、背景与性质。é3ò第一类曲线积分：设弧段AB(记作L)是R中的一条逐段光滑的曲线,函数f(x,y,z)定义在L上.把L任意地分成n个子弧段,PPè,i=1,2,?,n,P=A,P=B,每一段子弧段的弧长分别i−1i0n为Δl,在每一子弧段上分别任取一点Q
3、(ξ,η,ς),作Riemann和iiiiin∑f(ξi,ηi,ςi)Δli,记λ=max{}Δl1,Δl2,?,Δln.如果当λ→0i=1时,上述Riemann和的极限存在,且该极限值与子弧段的分法和点的取法无关,则称该极限为函数f(x,y,z)在曲线éAB(L)上的第一谭泽光1n类曲线积分,记作∫f(,,)xyzdl=lim∑f(,,)ξηςiiiiΔlLλ→0i=1f(x,y,z)为被积函数,éAB(L)为积分路径,dl>0为弧微分.ò第二类曲线积分:向量函数ddddFxyz(,,)=++XxyziYxyzjZxyzk(,,)(,,)(,,)3é
4、定义在空间区域Ω⊂R中的一条逐段光滑的有向弧段AB(记作L)ddé上.L的方程为rrtxtytzt=()((),(),())=.把有向弧段AB从Aè到B任意地分成n个子有向弧段,PP,i=1,2,?,n,i−1idggggghP=A,P=B,记Δ=lPPxyz=ΔΔΔ(,,).在每一段子有向0niii−1iii弧段上分别任取一点Q(ξ,η,ς)(参数为t),作Riemann和iiiiinddddd∑Fl(,,)ξηςiii⋅Δi再记λ=Δmax{ll12,ΔΔ,?,ln}.i=1如果当λ→0时,上述Riemann和的极限存在,且该极限值与子弧段d的分法
5、和点的取法无关,则称该极限为函数F(,,)xyz在有向曲线éAB(L)上从A到B的第二类曲线积分,记作ABdd∫Fxyzdl(,,)⋅LAB=+∫X(,,)xyzdxYxyzdyZxyzdz(,,)+(,,)LABn=Δlim∑[]X(,,)ξηςiiiixY+(,,)ξηςiiiΔyZi+(,,)ξηςiiiiΔzλ→0i=1dFxyz(,,)称为被积函数,有向曲线éAB(L)称为有向积分路径,ABdddddddl为弧微分向量.dl==++τdldxidyjdzk,0ddddτ=++cosαβγijkcoscos,0ddddddl==ταβγdlco
6、sdli+cosdlj+cosdlk,0ddx===τcosαβγdidy,cosdldz,cosdl.0谭泽光22．两类曲线积分之间的关系dddd∫Fxyzdl(,,)⋅=⋅∫()Fdτ0l;LL∫XdxYdyZdz++=+∫(XcosαβγYZdcos+cos)l.LL3．第一类曲线积分的计算⎧x=x(t)⎪设曲线L的参数方程为⎨y=y(t)t∈[]α,β⎪⎩z=z(t)又设f(x,y,z)在曲线L上连续,则弧长微分222222dl=++[][][]dxdydz=++[][][]x′′′()ty()tz()tdt,第一类曲线积分可按下式计算：β∫∫
7、[][][]222f(x,y,z)dl=f(x(t),y(t),z(t))x′(t)+y′(t)+z′(t)dtLα平面曲线积分计算，弧长微分的三种表式：2òLyyx:(=)时,dl=1+[]y′dxx⎧x=xt()22òL:⎨时,dl=[][]x′(t)+y′(t)dt，⎩y=yt()22òL:(ρ=ρϕ)时,dl=[][]ρ(ϕ)+ρ′(ϕ)dϕ4．第二类曲线积分化成定积分的计算ddT若L的方程为rrtxtytzt==()((),(),()),起始点A与终止点B对应的参数分别为t=α与t=β,ABdddd弧微分向量dl=++dxidyjdzj.被积
8、(向量)函数:ddddFxyz(,,)=++XxyziYxyzjZxyzj(,,)(,,)(,
