弹性力学与有限元分析复习题(含答案)

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1、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1），，；（2），，；其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程；（2）在区域内的相容方程；（3）在边界上的应力边界条件；（4）对于多连体的位移单值条件。（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足

2、A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量，，，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得18由此解得，，，3、已知应力分量，，，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量，，，代入平衡微分方程可知，已知应力分量，，一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：将已知应力分量，，代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：将已知应力分量

3、，，代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1），，；（2），，；（3），，；其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即18将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则，，（1分）。5、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。l/2l/2h

4、/2h/2yxO解：将应力函数代入相容方程可知，所给应力函数能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为，，对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，，，，，；下边，，，，，；左边，，，，，；18右边，，，，，。可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。l/2l/2h/

5、2h/2yxO解：将应力函数代入相容方程可知，所给应力函数能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为，，对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，，，，，；下边，，，，，；左边，，，，，；右边，，，，，。可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。187、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。Oxybqrg解：根据结构的特点和受力情况，可以假

6、定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即，这两个方程要求，代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得对应应力分量为以上常数可以根据边界条件确定。左边，，，，沿y方向无面力，所以有右边，，，，沿y方向的面力为q，所以有18上边，，，，没有水平面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即将的表达式代入，并考虑

7、到C=0，则有而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即，将的表达式代入，则有由此可得，，，，应力分量为,,虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为，，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，，，，试导出相应的相容方程。证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量，，应当满足平衡微分方程18（1分）还应满足相

8、容方程（对于平面应力问题）（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得，同样，将