Euclid空间,正交变换,对称变换

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1、第十一讲Euclid空间、正交变换和对称变换定义1设V是一个实线性空间,如果对V中任意的两个向量,都有唯一的一个实数()与之对应,且满足以下性质(1),V,(,)=(,);(2),,V,(,+)=(,)+(,);(3),V,kR,(k,)=k(,);(4)V,(,)0,且(,)=0=0,则称是向量与的内积,定义了内积的实线性空间V称为欧几里得空间,或简称欧氏空间.1定义2设1,2

2、n是欧氏空间V的一组基.对任意,V,可设1,2,,nX=x+x22xnn,1,2,,nY=y+y22ynn,并计算A称为V的内积关于基1,2n的度量矩阵.度量矩阵为单位矩阵的基称为标准正交基.2定理1n维欧氏空间V中任意n个线性无关的向量n,可用施密特正交化方法转化成一个正交向量组n,其中再通过把n单位化可得标准正交向量组,2,,n.定义3设Q是n阶实

3、矩阵,QTQ=I,则称Q是正交矩阵.3定义4设是欧氏空间V的一个线性变换,如果保持向量的内积不变,即对任意向量V,都有((),())=(,),则称是正交变换.例1设是把平面上的向量绕坐标原点顺时针旋转角的变换.记则令则A,是一个正交变换,称为旋转变换.例2设是把平面上的点映射到其关于某条直线的对称点,以这条直线为x轴建立平面直角坐标系,设则是一个正交变换,称为境面反射变换.4定理2设是欧氏空间V的一个线性变换,则下列四个命题相互等价:(1)是正

4、交变换；(2)保持向量长度不变，即

5、

6、

7、

8、；(3)把标准正交基还变为标准正交基；(4)在任意一组标准正交基下的矩阵A是正交矩阵.证明(1)(2)因为是正交变换,所以((),())=(,),两边开方即得

9、

10、

11、

12、.(3)(4)因为(1)(2)(n)亦为标准正交基,并且设A=(A1,A2An),则5(4)(1)设A是在标准正交基n下的矩阵,已知A是正交阵,且故(1)(2)(n)亦为标准正

13、交基,有设A是欧氏空间V的正交变换在V的一组标准正交基n下的矩阵,由定理1有ATA=I,所以

14、A

15、=1,若detA=1,则称是第一类正交变换,若detA=−1,则称是第2类正交变换.旋转变换是第一类正交变换,镜面反射是第二类正交变换.6上学期我们定义了:设,L(V),定义和的复合映射为(亦称为映射的乘积,V,定义()=(()),易证L(V).还定义了:设L(V),若存在L(V),使得==,则称可逆,为的逆.

16、易证可逆线性变换的逆变换是唯一的.的逆记为-1.上学期我们还证明了:(1)I是正交阵.(2)正交阵Q可逆,且Q的逆矩阵Q-1=QT还是正交阵.(3)正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.线性变换的乘积(即复合映射)对应于矩阵的乘积.L(V)可逆对应的矩阵可逆.推论(1)是正交变换.(2)正交变换可逆,且的逆变换还是正交变换.(3)正交变换的乘积仍是正交变换.7例3平面正交变换或为旋转或为境面反射变换.证明设{O;1,2}是一个平面直角坐标系,是一个平面正交变换,在1,2下的矩

17、阵为Q,则由定理1可知Q是一个二阶正交阵,故

18、Q

19、=1,记则a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,ad-bc=1,设a=cos,b=sin,c=cos,d=sin,则cos(-)=0,sin(-)=-(1),故-=-(/2).分两种情况:(1)若-=-/2,则a=cos,b=sin,c=-sin,d=cos.为把平面上的向量绕坐标原点顺时针旋转角的旋转.(2)若-=/2,则a=cos,b=sin,c=sin,d=-cos,8

20、解得这是的两个特征值,设分别为属于特征值1=1,2=-1的单位特征向量.故{O;1,2}也是一个平面直角坐标系,在1,2下的矩阵为故为以1为境面的境面反射变换.正交补与直和分解定义5设V是欧几里得空间,W是V的子空间,则称为W在V中的正交补.W⊥恰好由所有与W正交的向量组成.例4设W1是R3中一个过原点的平面上的全体向量构成的子空间,W2是R3中过原点且垂直于平面的向量构成的子空间,则W2是W1的正交补.9例5对标准内积,求与=(1,1,-1,1)T,=(1,-1,-