人大版线性代数课后习题集答案解析

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1、第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A为n阶对角矩阵.证明：先证明必要性。若矩阵A为n阶对角矩阵.即令n阶对角矩阵为：A=,任何对角矩阵B设为，则AB=，而BA=，所以矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换。再证充分性，设A=，与B可交换，则由AB=BA，得：=，比较对应元素，得，。又，，所以，，即A为对角矩阵。2、证明：对任意矩阵A，和均为对称矩阵.证明：()T=(AT)TAT=AAT　，所以，为对称矩阵。()T=AT(AT)T=ATA，所以，为对称矩阵。3、证明：如果A是实数域上的一个对称矩阵，且满足，则

2、A=O.证明：设A=，其中，均为实数，而且。由于，故A2=AAT==0。取A2的主对角线上的元素有，（i=1,2,…,n）因为，均为实数，故所有=0，因此A=O。4、证明：如果A是奇数阶的反对称矩阵，则detA=0.证明：设A=为奇数阶反对称矩阵，即n为奇数，且=-，i,j=1,2,…,n，从

3、A

4、中每行提出-1，得

5、A

6、====-

7、A

8、（因为n为奇数，且

9、AT

10、=

11、A

12、），故得

13、A

14、=0。5、设A、B、C均为n阶矩阵，且满足ABC=E，则下列各式中哪些必定成立，理由是什么？（1）BCA=E；（2）BAC=E；（3）ACB=E；（4）CBA=

15、E；（5）CAB=E。答：第(1),(5)必定成立。因为ABC=E，说明ＢＣ是Ａ的逆矩阵，AB是Ｃ的逆矩阵，则(1),(5)必定成立。但是由于可能有，，所以其他的不一定成立。6、设A、B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中有哪些一定成立？为什么？（1）；　（2）；（3）　（k为正整数）；（4）（k为正整数）；（5）；（6）；（7）；（8）。答：一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。7、已知，令，求（n为正整数）.解：因为==，其中==3，所以==。8、计算行列式解：用Ｄ表示所给的行列式，把Ｄ分成两个行列式相加：Ｄ＝＋将右边第一个行列式

16、的第一列加到第二、第四列，用－１乘第一列后加到第三列；将第二个行列式变成三阶行列式后再拆成两个三阶行列式相加，Ｄ＝－－　＝。9、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且，。如果，求detC.解：把C通过mn次的相邻换行之后，即可把C化为C1，且故　　==。10、证明：n阶行列式（1）;（2）.证明：（1）令所给的矩阵为Dn，并按第一列展开得，所以　===…==。（2）令所给的行列式为Dn，并按第一列分成两个行列式相加，然后对第一个行列式从第一列开始，每列乘-b后往下一列加，即得Dn=+=+bDn-1===…==。11、证明：n阶行列式（1）;（2）.

17、证明：（1）令，，则有，xy=1。而且由于，故，从而由第十题的结果直接得Dn==。（2）令所给的矩阵为Dn，按第一列展开，并应用（1）的结果，得Dn=－=－==。12、设A是n阶矩阵，求证：。证明：由的定义可知，，两边取行列式，得。下面进行讨论。1）若detA¹0，则由上式立即就有　。2）若detA＝0，且A=O，则　＝0，因而　det=0，结论成立。3）若detA＝0，且A¹O，此时必有det=0。因为若det¹0，则可逆，于是在　＝O　两边左乘，得　A=O，与A¹O矛盾。即此时结论也成立。　　证毕。13、设A、B、C、D均为n阶矩阵，且，

18、AC=CA.求证：证明：因为，所以矩阵A可逆。根据矩阵的乘法，有=又AC=CA，因此，===。14、设3阶矩阵A、B满足关系式，其中求B.解：因为所以，B=。15、设4阶矩阵，且矩阵A满足关系式，其中E是4阶单位矩阵。试将上式化简并求出矩阵A.解：。而　　=，再利用矩阵初等变换即可求出。所以　　　　A=。第1章　　矩阵1、设，求解：；；。2、设矩阵满足，其中，，求解：设，则，。利用矩阵相等的定义可得：。3、某石油公司所属的三个炼油厂在1997年和1998年生产的4种油品的产量如下表（单位：万吨）产油量品炼油厂1997年1998年5827154

19、72301856525143632513590302078028185（1）作矩阵和分别表示三个炼油厂1997年和1998年各种油品的产量；（2）计算与，并说明其经济意义；（3）计算，并说明其经济意义。解：（1），；（2），其经济意义表示三个炼油厂1997年和1998年两年各种油品产量的和。，其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年之间各种油品产量的变化量。（3），其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年各种油品的平均产量。4、计算下列矩阵的乘积（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。解：（1）。（2）

20、。（3）。（4）。（5）。（6）。（7）。V41V71yV315、如图，考虑边长为2的正方形：设其顶点和各边中点的坐标分别为V61V81（1）用矩阵分别左乘给定的V