高等数学-幂级数

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1、主讲教师:王升瑞高等数学第二十七讲1习题课级数的收敛、求和与展开三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和付式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法第十一章2常数项级数函数项级数一般项级数正项级数幂级数三角级数收敛半径R泰勒展开式数或函数函数数任意项级数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数满足狄氏条件在收敛级数与数条件下相互转化一、主要内容31、常数项级数级数的部分和定义级数的收敛与发散4性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质

2、4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质敛散性不变.原来的和.5常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;2.一般项级数4.绝对收敛6定义2、正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法7(2)比较审敛法的极限形式设与都是正项级数，如果则(1)当时，二级数有相同的敛散性(2)当时，若收敛则收敛。(3)当时，若发散则发散。8910定义正、负项相间的级数称为交错级数.3、交错级数及其审敛法11定义正项和

3、负项任意出现的级数称为任意项级数.4、任意项级数及其审敛法125、函数项级数(1)定义(2)收敛点与收敛域13(3)和函数14(1)定义6、幂级数15(2)收敛性16推论17定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.18a.代数运算性质:加减法(其中(3)幂级数的运算19乘法(其中除法20b.和函数的分析运算性质:217、幂级数展开式(1)定义22(2)充要条件(3)唯一性23(3)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:b.间接法方法,求展开式.根据惟一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,

4、恒等变形,逐项求导,逐项积分等24(4)常见函数展开式2526(1)三角函数系三角函数系8、傅里叶级数27其中称为傅里叶级数.(2)傅里叶级数定义三角级数28(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)29(4)正弦级数与余弦级数3031奇延拓:(5)周期的延拓偶延拓:3233求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;34一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值

5、审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限353.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛36例1.若级数均收敛,且证明级数收敛.证:则由题设收敛收敛收敛收敛.37利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因n充分大时再由比较法可知原级数收敛.发散,收敛,P322题2.判别下列级数的敛散性:38用比值判别法可知:时收敛;时,与p级数比较可知时收敛;时发散.时发散.P322题2.判别下列级数的敛散性39P322题3.

6、设正项级数和也收敛.提示:因存在N>0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n>N时40P322题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:P>1时,绝对收敛;0

7、的和.P323题9(2).求级数44例2.设在的某个邻域内有连续二阶导数，且证绝对收敛。证：利用麦克劳林公式：（下证收敛，略）45二、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.P323题7.求下列级数的敛散区间:练习:46解:当时,原式=时原级数收敛.令原级数发散.47解:当因此级数在端点发散,时,原式=故收敛区间为同理级数发散.48解法1:故收敛区间为中一般项不趋于0,令原级数收敛,P323题7.求下列级数的敛散区间:49解法2:因故

8、收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;50例1.解法2利用根值判别法∴其收敛半径51例2、设解：由阿贝尔定理，试求在在处的收敛，处的敛散性。在如上范围内绝对收敛，故时，原级数绝对收敛。52解:∴收敛半径为例3.求发散。∴原级数的收敛域为的收敛域.在处:收敛。53•求部分和式极限三、