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1、2.２极限微积分温州大学教育科学学院数学教研室§2.2极限本节要求读者在复习中学数列极限基础上掌握:理解:无穷小和无穷大;了解:初等函数的连续性;极限概念的应用.函数极限的直观意义和运算法则;两个重要极限;§2.2极限2.2.1极限概念战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之棰日取其半万世不竭.三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周”割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.2.2.1极限概念极限的直观意义2.2.1极限概念*
2、极限的分析定义定义给定数列{xn}，若项数无限增大时(记作n→∞),通项xn无限地接近常数A,则称A为数列{xn}的极限,记作同时说数列{xn}收敛到A．否则称数列{xn}发散．*分析定义项号项这一项与0的差的绝对值12345678……………………2.2.1极限概念定量分析12345678…项号边数内接多边形周长2412632.5980762113533.0000000000003.1058285412303.132628613281483.139350203047963.1410319508911923.1414524722853843.141557607912……………2
3、.2.1极限概念1x2数列极限的ε-N定义一般地，对于数列{an}，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正数ε,都能在数列中找到一项aN，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε（即当n>N时，
4、an-A
5、<ε恒成立）,就把常数A叫做数列{an}的极限，记作an=A．例1.2.3求21+（-1)n+11x2例1.2.3所给数列为21+（-1)n+1解：随n无限增大时无限地逼近0,所以,例1.2.4等比数列{a0qn}的极限.例1.2.5等比级数求和.把等比数列的所有项用加号连接起来就得到了等比级数(几何级数).即级数是微积分学中与数列密切相关的概念.把无穷数列的所有
6、项用加号连接起来就得到了级数.式子称为该等比级数的前n项部分和,记作sn.这是无穷多个数相加的问题.怎么加?考虑有限个数相加:现在研究数列｛sn｝的收敛问题.………部分和又构成了新的数列｛sn｝.此时也称之为级数收敛.,称为级数发散.,此时级数也发散.综上所述此极限可理解为所有项相加的结果,称之为等比级数的和.并记作解等比级数例2.2.6把循环小数L3171717.2173.2=表示成分数的形式.数列极限小结微积分的主要研究对象是函数,数列只是特殊的函数.而函数极限是微积分学的最基本工具,它贯穿微积分学的始终,更需要我们去研究.下面来看一般函数的极限：2.2.1极限概念函数极
7、限数列是特殊的函数(自变量取正整数值).我们更需要研究一般函数在自变量向某个方向变化时函数(因变量)值是如何变化的.函数极限是微积分学的最基本工具，它贯穿微积分学的始终．先看两个例子．例1.2.6当
8、x
9、无限地逼近于0时，函数是如何变化的？这种情况记作例1.2.7这种情况记作当x无限增大时， 是如何变化的？这道题书上的图有误.函数极限的朴素定义设y=f(x)是给定函数，如果自变量x在定义域内按照某种趋势（记作x→□）变化时，函数值f(x)相应地变化而无限地逼近常数Ａ，则称Ａ为函数在该变化过程中的极限，或说收敛到Ａ（简称y有极限或y收敛），记作读作x趋于□时函数y的极限是Ａ.
10、x→□的六种不同情况：(1)x→a:a为常数，如例1.2.7中x→0.(2)x→＋∞:x的值无限地增大，如例1.2.8.(3)x→－∞:x的值无限地减小，如下例1.2.9.下一张自变量趋向负无穷大时函数的极限例1.2.8自变量x趋向无穷大时函数的极限例1.2.9(4)x→∞:
11、x
12、无限地增大，如下例.在a点的左右极限(6)x→a－:x小于a而无限地逼近a，读作x趋于a减,称为f(x)在a点的左极限.432112345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo(5)x→a＋:x大于a而无限地逼近a，读作x趋于a加,称为f(x)在a点的右极限.(5)x→a＋:x大于a而无限地逼近a，
13、读作x趋于a加,称为f(x)在a点的右极限.例1.2.10此题中左右极限有何差别？下一张x→a时f(x)的极限与函数值f(a)有没有定义，究竟如何定义无关!例1.2.11设f(x)＝2x,x∈(0,2),则例1.2.12设g(x)＝2x,x∈(0,1)∪(1,2),则上述是三个不同的函数，三者的差别在于定义域或在x=1处的函数值，但x→1时的极限相同．说明上述的不同并不影响它们在x=1处的极限的存在与极限值．因为极限是研究x在a点附近并且不断趋近a点时函数的变化趋势.例1.2.13设h(x)＝则下一张2
