《材料的电学》课件

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1、2.1金属的自由电子理论2.2晶体能带理论基础2.3固体的电导2.4材料的介电性第二章材料的电学表4三种固体电子理论的比较经典自由电子论量子自由电子论能带理论统计玻耳兹曼费米－狄拉克费米－狄拉克力学经典力学，热力学量子力学量子力学势能—均匀势周期势边界—周期边界周期边界优点计算金属电导率、热导率解决前面模型的不足解决前面全部问题缺点不能准确预测电子平均自由程及比热不能解释导体、半导体、绝缘体应用已不使用金属晶体金属、半导体晶体2.1金属的自由电子理论前面的模型没有考虑到晶体结构的周期性，很难考虑晶体结构对金属内部电子态的影响。问题：立方金属晶胞（立方势阱/周期性边界）自由

2、电子运动的索莫菲模型：（2-1）（2-2）Sommerfeld金属的自由电子理论以行波作试探解考虑边界条件（2-2），由（2-3）有，，（2-3）（2-4）2.1.1k空间(kx,ky,kz)波矢k的三个分量在正交坐标系中组成波数空间，表征量子态空间，因为其中每一点对应一个波函数/量子态/轨道：k等球面＝等能级面En。K空间每一个微元ΔV=ΔkxΔkyΔkz=(2π/L)3,对于一个量子态。电子由靠近原点的低能级依次填充到更高能级，直到最高能级费米能EF(T＝0k)，对应的半径kF为称费米波矢（费米半径），球称为费米球（kF，EF）。图1三维自由电子的K空间和费米球画法等

3、能面1微元＝1状态/轨道（T=0k）2.1.2费米半径和费米速度设N个电子占据了费米球内从原点到费米球面k=kF之间的能量状态，由于k空间每一个微元(2π/L)3就有一个量子态/轨道，考虑到电子自旋，一个轨道可以容纳两个电子，因此，费米球内可容纳电子总数N故费米半径kF为（2-5）（2-6）费米速度-费米面上的速度费米面的能量（2-7）（2-8）2.1.3自由电子的态密度Z(E)单位能量区间dE的状态数（轨道）称为态密度，用Z(E)表示。在费米球所表示的k空间中，由能级E到E+dE两个面围成的球壳体积为4πk2dk，而每一个微元体积为(2π/L)3，所以球壳内的量子态的数

4、目为（2-9）费米球kF内可容纳电子总数N状态密度的另一种推导方法：那么，任一半径k内容纳的电子总数n（2-10）利用，上式改写为所以（2-11）（2-12）Z(E)Z(E)Z(E)E图2自由电子的态密度与能量的关系EFEFEF三维二维一维纳米片纳米管2.1.4自由电子的能级分布金属中自由电子的能量是量子化的，构成准连续分布。而电子是如何占据这些能级和轨道的呢？由于电子是费米子，所以电子分布服从F-D统计：那么，三维晶体中dE微区的自由电子数为0K费米能级0K费米能级以下的自由电子数（费米球内电子数）（2-13）0K自由电子平均能量（2-14）在实际金属中，电子既受到规则

5、排列的原子核的引力势（负）和其它价电子的斥力势（正）叠加而成的周期势U的作用，在逸出时还受到表面势垒的作用，要使电子逸出金属表面，必须克服如图3所示的能量φw（功函数），表面势垒＝功函数＋费米能2.2.1周期势和布洛赫（Bloch）定理EFφW势阱势垒U(X)图3金属中的周期势表面势垒2.2晶体能带理论基础单电子近似：每个电子在晶格原子周期势场和其它电子分布形成的平均势场叠加而成的周期势中独立运动。（2-16）－－Bloch定理（2-15）（2-17）(a)V(x)(b)uk(x)(c)exp(ikx)(d)ψk(x)（a）一维晶体的周期势（b）与晶格有相同周期的函数（c

6、）自由电子的平面波（d）Bloch函数＝晶格调幅的平面波ax自由电子平面波晶格调幅函数Bloch函数的性质：非局域性局域性2.2.2克龙尼格－潘尼（Kronig-Panney）模型晶体周期势中的电子波函数是Bloch函数。对薛氏方程(35)一般无法求精确解。要求得这样的解，必须作简化，如图4那样，提出了简化的势阱模型—一维准自由电子模型。图4Kronig-Panney方势阱模型数学模型:（2-18）（2-19）（2-20）（势阱）（2-21）（2-22）（势垒）令：（2-23）垒：阱：光滑的当U0b=const，势垒宽b→0时，式（43）转变为：（2-24）图5(a)自由

7、电子模型E-K曲线(b)准自由电子模型E-K曲线Sommerfeld模型K-P模型允许带禁带kkEEdE/dK小AB结论：（1）当k=nπ/a，在准连续的能谱ћ2k2/2m上出现了能隙，能隙构成电子能级的禁带，而禁带之间是允许带，电子能级只能在允许带分布。禁带正好出现在布里渊区的边界，即nπ/a。（2）随着能级的增加，允许带宽度增大，禁带宽度变窄，逐渐趋于自由电子近似的情形。（3）禁带起因：晶格入射电子波满足布拉格衍射的结果，反射波与入射波反向、同相位，相互抵消产生驻波。在位置垂直入射的电子行波被反射布拉格反射：真实的电子波：