一种模型打天下——“球与盒子”模型的应用

《一种模型打天下——“球与盒子”模型的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、万方数据一和檩型打天下——“球与盒子’’模型的应用华瑞芬在排列组合问题中有这样一类“球与盒子”问题，把一些小球投入到几个盒子中，给出一定的限制条件，求有多少种不同的方法．我们可以把这类“球与盒子”问题作为一种具体形象的数学模型，帮助我们解决多种多样的排列组合问题．下面分类例析，希望有助于同学们理解具体数学模型的作用，提高迁移运用方法的能力．禽一、m个不同的球放入门个不同的盒子此类问题中球必须都放进盒子，因此按球分步．把“一个球放进盒子”作为第一步，共分，理步，每一步都有n种不同的放法，所以把m个不同的球放入理个不同的盒子，共有行”种不同的放法．求解此类问题的关键在于分清谁是球，判

2、断的标准为“球”必须都一点(点在圆C外)到圆M的切线长与到圆C的切线长相等，具体的：(1)当圆C与直线m相交时，方程M表示经过两交点的圆；(2)当圆C与直线埘相切时，方程M表示经过切点且与圆C相切的圆；(3)当圆C与直线m无公共点时，方程M表示直线m上的任一点到该圆切线长等于到圆C切线长的圆．当已知直线与圆的位置关系，要求满足以上对应条件的圆的方程时，就可以按照以放完．矽例14封信投入三个信箱，共有多少种不同的投法?解析由于每封信都必须投出去，因此把“信”类比“球”，共有34—81种不同的投法．矽例2设A一{0，192)，B一{1'2点4}，则A到B的映射共有多少个?解析由于A到

3、B的一个映射，须满足A中每个元素在B中有且仅有一个元素与之对应，因此将A中每个元素类比一个球，共有43—64种不同的映射．★二、Ⅲ个不同的球放入，z(，z<Ⅲ)个不同的盒子且每个盒子不空此类问题不仅要求“球”必须放完，而且’㈣+⋯’’㈣+㈨+⋯’W上设法设出圆的方程，这种方法叫圆系方程法．教材中可挖掘的方法还有很多，例如点差法、设而不求法、整体代入法等。这里就不一一罗列．高三复习，应从各个方面、不同角度精心挖掘课本原题潜能，充分发挥典型题的作用，做到在知识上融会贯通，方法上运用自如，最终形成科学的解题策略，只有这样我们才会真正从题海战术中脱身出来，感受数学学习的轻松愉快．，。_◆

4、New‘UniversityEntranceExaminatio，z一●隧万方数据要求每个盒子不空．求解此类问题时，首先要考虑分配情况，然后再考虑球的搭配、盒子的选择．黟例3把4本不同的书奖给3名同学，每个学生至少得1本，共有多少种不同的奖励方法?解析分配方案为“2，1，1”，即一个盒子放2个球，另两个盒子各放一个球．球的搭配为将某两个球合为一体，有C：种方法．盒子的选择则为三个数字的全排列，即A；．综上可得共有Ci·A；一36种不同的奖励方法．眵例44个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法央南多少精?解析∽恰好型”问题实际上确定了分配方案．本题的

5、分配方案为“2，1，l，0”，共有Ci·A：一144种不同的放法．，l三、聊个相同的球放入门个不同的盒子此类问题可用“隔板”的方法求解．先将m个球排成一排，再加入7"／一1个隔板，则可将这m个球分成九个部分，每个部分的球数对应放入盒子的球数．这样每确定隔板的一种位置，就确定了一种放法．因此把77／个相同的球放人，z个不同的盒子的放法，对应“从m-+-行一1个位置中选择咒一1个隔板”的选法，即C扛j一。种不同的放法．矽例5求z+y+z一14非负整数解的组数．解析本题为将14个相同的球放入3个不同的盒子，共有Ci矗。一，一C{。一120种不同的组数．眵例6求(以+6+f)，。展开式中

6、的项数．●——、-L一")VewU靠iver矗tyEntrance嘶m砌撕解析展开式中的每一项都可以表示为mn。b’C2，且z+y+z一10，z，Y，z∈N+．所以所求的项数为z+y+z—lO非负整数解的组数，即有C孔+：一66项．～四、，，z个相同的球放入行(，z

7、且每个盒子不空的放法，对应“从m一1个空位中选择订一1个放插板”的选法。即C纂1。种不同的放法．矽例7求方程工+y+z一14的正整数解的组数．解析易知正整数解的组数为C；■。一C氛一78种．矽例8某运输公司有7个车队，现要从这7个车队中抽出lO辆车组成一个运输队，每个车队至少抽出一辆，则不同的抽法有多少种?解析本题等于求“10个相同的球放入7个不同的盒子且每个盒子不空”的放法．即有Cj矗，一C；一84种不同的抽法．注意(1)插板与隔板的区别：插板不可相邻且不可放在头尾，而隔板既可