从角平分线想到的辅助线

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1、从角平分线想到的辅助线天星中学徐德荣角平分线具有两条性质：a、角平分线上的点到角两边的距离相等；b、对称性。对于有角平分线的辅助线的作法，一般思路有两个方向。①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形。具体情况，我们从以下四个方面来练习。一、图中有角平分线，可向两边作垂线。问题1：如图，OB平分∠AOB，∠AOC+∠ABC＝1800。（1）讨论线段AB与BC的数量关系，并说明理由。（2）特殊化：将∠AOB、∠ABC都变为900，仍保证了∠AOB+∠ABC＝1800。问题变为：如图，OB平分∠AOB，∠AOB＝∠ABC

2、＝900，讨论线段AB与BC的数量关系，并说明理由。（3）在（2）的条件下，作PQ⊥OB（如图），则图中全等三角形有（），等线段有（）.二、也可将图对折看，对称以后关系现。对折的基本图形如下：5问题2：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B求证：AB=AC+CD.变化：如图，当AD平分∠BAC的外角时，AB、AC、CD的数量关系又如何？三、角平分线加垂线，三线合一试试看。基本图形：问题3：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD，垂足D。求证：∠ABD=∠DBC+∠C.变化：如图，在△ABC中，，，BD⊥AD．求证

3、：．5四、角平分线和平行线，等腰三角形在里面。基本图形：321IEDABC问题4：如图：已知在△ABC中ABC、ACB的平分线交于点I，过点I作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE=BD+CE。问题5：如图：BD是角平分线DE//BC，交AB于点E。求DE之长。3CBAED12小结：角平分线具有两条性质：a、角平分线上的点到角两边的距离相等；b、对称性。对于有角平分线的辅助线的作法，一般思路有两个方向。①从角平分线上一点向两边作垂线；5①利用角平分线，构造对称图形。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线

4、；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。顺口溜：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线加垂线，三线合一试试看；角平分线和平行线，等腰三角形在里面。练习：1、如图，点C在∠AOB的平分线上，CD∥OA，E是OA上一动点，若∠AOB＝300，OD＝4，则线段CE最短是多少？2、如图，△中，，，平分交于点．求证：．3、如图，已知，，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，求证：4、如图，△ABC中，CD、CE分别是∠ACB及其外角的平分线，DE∥BC。探索线段DF、EF的数量关

5、系，并说明理由。5、如图，AE∥CD，BD、BE分别平分∠AED和∠CDE。求证：AB＝BC。5讨论本问题的变化情况。5