几何体的外接球

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1、几何体的外接球南昌高中数学教研室命题工作坊几何体外接球问题的是高考的高频考点，重点考查学生的空间想象能力，难点在于准确寻找外接球的球心。我们要抓住几何体外接球球心的本质特征：（1）外接球球心是任意两条直径的交点；（2）外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上；（3）外接球的球心在经过几何体任意一个平面的外心且与此平面垂直的垂线上。所以如何交出球心是关键，一般是先找几何体某一特征平面的外心，再作经过此外心的作特征平面的垂线，空间问题转化为平面问题，然后在平面上利用球的几何性质作图交出球心。下面结合实例的应用进行说明。1．设三棱柱的侧

2、棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）2721122A．aB．aC．aD．5a331．B【解析】∵三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心1连线过球心O，且ONa，N为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心，22322272则有ANAEa，∴球半径OAANONa，∴球的表面3312227积为4OAa．3【点评】寻找直棱柱的外接球球心，只要找到直棱柱上、下底面的外心，两外心连线即与底面垂直，此线段中点即为外接球的球心．2．三棱锥PABC中，ABC为等边三角形

3、，PAPBPC2，PAPB，三棱锥PABC的外接球的表面积为________．2．12【解析】∵三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC2，∴PABPACPBC．∵PAPB，∴PAPC，PBPC．以PAPBPC,,为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥PABC外接球．222∵长方体的对角线长为22223，∴球直径为23，半径3，22因此，三棱锥PABC外接球的表面积是4R4(3)12．【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，补形构造正方体或

4、长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球．3．已知四面体PABC中，PAPB4，PC2，AC25，PB平面PAC，则四面体PABCD外接球的表面积为．2223．36【解析】由PA4PC2，AC25，∴PAPCAC，可得PAPC；又∵PB平面PAC，PAPC,⊂平面PAC，∴PBPA，PBPC，以PAPBPC,,为长、宽、高，作长方体如图所示：则该长方体的外接球就是四面体PABC的外接球，∵长方体的对角线长为4222426，∴长方体外接球的直径26R，得R3；因此，四面体PABC的外

5、接球体积为V36．【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，等效于一个“墙角”，可将“墙角”补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球，在长方体中确定直径解决外接问题．4．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此三棱锥的体积为（）1222A．B．C．D．446124．C【解析】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABC．由2331626CO1，OO11，

6、得高SD2OO1，而32333331326ABC是边长为1的正三角形，则S，得VABC43432．6【点评】外接球球心与几何体任意平面的外心连线垂直于该平面．5.已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，AB3，AC3，BCCDBD23，则球O的体积为（）44332A．B．C．D．3633315.C【解析】如图，由条件知ABC是以BC为直径的直角三角形，取BC的中点O1，知rOA1BC23，又DBC为等边三角形，ABC所在的小圆

7、面与平面DBC垂直，得OD1平面ABC，即球心OD上，且OD3，设球半径为R，则222O在11(3RR)(3)，可得R2，故球O的体积为43322．33【点评】如果三棱锥的面是直角三角形，直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，即为外心.6.已知在梯形ABCD中，AB//CD，ADAB，AB2，ADCD1，将梯形ABCD沿对角线AC折叠成三棱锥DABC，当二面角DACB是直二面角时，三棱锥DABC的外接球的体积为.46.【解析】如图，由条件知ABC是以AB为直径的直角三角形，取AB的中点

8、O1，知31122rOC1AB1，又ADCD1，取AC的中点E，则OEBC，DE，又二面角22222DACB是直二面角，知OED1，所以OD121，所以OD11OC1OAOB11，22即O1为三棱锥DABC的外接球的的球心