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1、第4章MATLAB解方程与函数极值4.1线性方程组求解4.2非线性方程数值求解4.3常微分方程初值问题的数值解法4.4无约束优化问题4.5约束优化问题7/24/202114.1线性方程组求解4.1.1直接解法1．利用左除运算符的直接解法对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“”求解：x=Ab对于线性方程组xA=b，可以利用右除运算符“/”求解：x=A/b7/24/20212例4-1：用直接解法求解下列线性方程组。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6
2、,0]';x=Ab结果：x=-66.555625.6667-18.777826.55567/24/202132．利用矩阵的分解求解线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。7/24/20214(1)LU分解矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。MATLAB提供的lu函数用
3、于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：[L,U]=lu(A)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足A=LU。注意，这里的矩阵A必须是方阵。[L,U,P]=lu(A)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PA=LU。当然矩阵A同样必须是方阵。实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U(Lb)或x=U(LP*b)，这样可以大大提高运算速度。7/24/20215例：用LU分解求解例4-1中的线性方程组。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,
4、6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[L,U]=lu(A);x=U(Lb)或采用LU分解的第2种格式，命令如下：[L,U,P]=lu(A);x=U(LP*b)7/24/20216(2)QR分解对矩阵A进行QR分解，就是把A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：[Q,R]=qr(A)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。[Q,R,E]=qr(A)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一
5、个置换矩阵E，使之满足AE=QR。实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R(Qb)或x=E(R(Qb))。7/24/20217例：用QR分解求解例4-1中的线性方程组。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[Q,R]=qr(A);x=R(Qb)或采用QR分解的第2种格式，命令如下：[Q,R,E]=qr(A);x=E*(R(Qb))7/24/20218(3)Cholesky分解如果矩阵A是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵A
6、分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即A=R'R。MATLAB函数chol(A)用于对矩阵A进行Cholesky分解，其调用格式为：R=chol(A)：产生一个上三角阵R，使R'R=A。若A为非对称正定，则输出一个出错信息。实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R’Rx=b，所以x=R(R’b)。7/24/20219例：用Cholesky分解求解例4-1中的线性方程组。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,
7、-9,6,0]';R=chol(A)???Errorusing==>cholMatrixmustbepositivedefinite命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。7/24/2021104.1.2迭代解法迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。1．Jacobi迭代法对于线性方程组Ax=b，如果A中aii≠0(i=1,2,…,n)，则可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的
8、下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为：x=D-1(L+U)x+D-1b与之对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b这就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收敛于x，则x必是方程Ax=b的解。Jacobi迭代法收
