情景问题汇总

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1、小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S四边形ABCD＝S△ABF．（S表示面积）问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值．请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OA、OB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面

2、积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB＝66º，∠POB＝30º，OP＝4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin66º≈0.91，tan66º≈2.25，≈1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值．解：问题情境：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．∵点E为DC边的中点，∴DE=CE．∵在△ADE和△FCE中，，∴△A

3、DE≌△FCE（AAS），∴S△ADE=S△FCE，∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE，即S四边形ABCD=S△ABF；问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF，∴当点P是MN的中点时S△MON最小；实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，在Rt△OPP1中，∵∠POB=30°，∴P

4、P1=OP=2，OP1=2．由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．在Rt△OMM1中，tan∠AOB=，2.25=，∴OM1=，∴M1P1=P1N=2﹣，∴ON=OP1+P1N=2+2﹣=4﹣．∴S△MON=ON•MM1=（4﹣）×4=8﹣≈10.3km2．拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，∵C（，），∴∠AOC=45°，∴AO=AD．∴A（6，0），∴OA=6，∴AD=6．∴S△AOD=×6×6=18，由问题迁移的结论可知，当PN

5、=PM时，△MND的面积最小，∴四边形ANMO的面积最大．作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1，∴M1P1=P1A=2，∴OM1=M1M=2，∴MN∥OA，∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANPP1=×2×2+2×4=10②如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，∵C（，）、B（6，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y=﹣x+9，当y=0时，x=9，∴T（9，0）．∴S△OCT=9=．由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，∴四边形CMNO的面积最

6、大．∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4，∴4=﹣x+9，∴x=5，∴M（5，4），∴OM1=5．∵P（4，2），∴OP1=4，∴P1M1=NP1=1，∴ON=3，∴NT=6．∴S△MNT=×4×6=12，∴S四边形OCMN=﹣12=＜10．∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径C

7、D上一动点，则BP+AP的最小值为__________．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．…………………4分（2）解：如图，在斜边AC上截取AB′=AB,连结BB′.∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称.…………6分过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E，连结BE,则线段B′F的长即为所求.(点到直线的距离最短)………8分在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450,A