高一奥赛讲座-曲线运动和万有引力部分

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1、高中物理奥赛辅导（四）第四讲曲线运动及万有引力定律1万有引力定律：任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两个物体质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。表示为其中，G称为万有引力常量，G＝6.67×10-11N·m2/kg2。注意点：（1）万有引力公式只适用于两个质点，但对于两个质量分布均匀的球体也可用此式计算，只是把球的质量视为集中在球心，r就是两球心间的距离。如果两个物体间的距离远远大于两物体的线度，也可用此式计算。（2）两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力。2．万有引力定律的应用（1）天体运动参数的计算：如已

2、知中心天体的质量、行星或卫星的轨道半径，求行星或卫星的线速度、角速度、周期。（2）天体质量的计算：如已知行星或卫星的轨道半径、周期（或线速度、角速度），求中心天体的质量及密度。基本方程是：例1:(1)在地球表面上物体所受的重力是否就是万有引力？(2)在地球表面重力加速度都相等吗？为什么？解答:(1)地球在不断地自转，地面上一切物体随地球都在作圆周运动，这些圆周平面垂直于地轴而和纬线相合。作匀速圆周运动的物体需要向心力，这个向心力是由地球对物体的引力来维持。因此地球上物体的重力应该等于它受到的地球引力和它随同地球自转所需向心

3、力的矢量差。从上面分析可知，物体的重力是由地球对物体的引力而产生的。除两极（两极处无向心力）外，物体重力都不等于万有引力。应该指出，重力和万有引力的差值是不大的。以需要向心力最大的赤道为例，向心力仅是万有引力的0.34%，重力是万有引力的99.66%，相差是很小的。解答:(2)在地球表面，赤道处的重力加速度最小。重力加速度随着纬度的增加而增加，到两极处的重力加速度为最大。地球表面上的物体随地球自转作圆周运动所需要的向心力等于mω2Rcosφ，其中Rcosφ，是物体在某纬度处作圆周运动的半径。向心力由万有引力提供，因此物体的重

4、力等于万有引力和向心力两者的矢量差。即mg=F-FΦ（F为万有引力，FΦ为某纬度处的向心力），如图所示。因为Fφ=mω2Rcosφ，可知在φ=0时，FΦ最大。在φ=90°时，FΦ最小。例2:用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离开地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为[]分析人造卫星所受地球的万有引力即为卫星的重力，也就是，卫星绕地运转(视为匀速率圆周运动)所需要的向心力当人造卫星未发射前，在地面上时由①、②两式可得

5、因为F引=F心,所以答：本题正确选项为B、C。由③、④两式可得例3:在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星，这两颗星必须各自以一定的速率绕某一中心转动才不至于由于万有引力而吸在一起。已知两恒星的质量分别为M1和M2两恒星距离为L。求：(1)两恒星转动中心的位置；(2)转动的角速度。分析：如图所示，两颗恒星分别以转动中心O作匀速圆周运动，角速度ω相同，设M1的转动半径为r1，M2的转动半径为r2=L-r1；它们之间的万有引力是各自的向心力。解答：（1）对M1，有对M2，有故M1ω2r1=M2ω2(L-r1)（2）将r1值代

6、入式①例4：地球和月球中心的距离是3.84×108m，月球绕地球一周所用的时间是2.3×108s。求：地球的质量。分析月球绕地球的运动可以近似地当作匀速圆周运动。设月球的质量为m月，它作圆周运动所需要的向心力就是地球对月球的万有引力．解答：地球对月球的万有引力月球绕地球作匀速圆周运动需要的向心力是说明：根据地球卫星绕地球运行的参数（如周期、轨道半径），能推算出地球的质量，但不能推算卫星的质量；根据行星绕太阳运行的参数，能推算太阳的质量，但不能推算行星的质量。由（1）、（2）式得例5．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道

7、[]A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的答案:CD例6　.行星的平均密度是ρ，靠近行星的表面的卫星运转周期是T，试证明:ρT2是一个常量，即对任何行星都相同。分析：由可得：例7．两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面高度为R，b卫星离地面高度为3R，则：(1)a、b两卫星周期之比为多大？(2)若某时刻两卫星

8、正好同时通过地面上同一点的正上方，a卫星至少经过多少个周期两卫星相距最远？分析：某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方相当于两卫星从同一点开始出发，当两卫星转过的角度之差为1800时相距最远。故有：即t=0.77Ta例8登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月