高考真题突破：数学归纳法

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1、专题十三推理与证明第三十九讲数学归纳法解答题1．（2017浙江）已知数列满足：，．证明：当时（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．2．(2015湖北)已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,,证明：．3．(2014江苏)已知函数，设为的导数，．（Ⅰ）求的值；（2）证明：对任意的，等式成立．4．（2014安徽）设实数，整数，．（Ⅰ）证明：当且时，；（Ⅱ）数列满足，，证明：．5．（2014重庆）设（Ⅰ

2、）若，求及数列的通项公式；（Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论．6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且.求的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数.若，则；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当为正有理数时，有求导公式.7．（2011湖南）已知函数，.（Ⅰ）求函数的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列{}（）满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有≤ ．专题十三推理与证明第三十九讲数学归纳法答案部分1．【解析】（Ⅰ）

3、用数学归纳法证明：当时，假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此故（Ⅲ）因为所以得由得所以故综上，．2．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．当，即时，单调递增；当，即时，单调递减．故的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，，即．令，得，即．①（Ⅱ）；；．由此推测：．②下面用数学归纳法证明②．（1）当时，左边右边，②成立．（2）假设当时，②成立，即．当时，，由归纳假设可得．所以当时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（Ⅲ）由的定义，②，算术-几

4、何平均不等式，的定义及①得，即．3．【解析】（Ⅰ）由已知，得于是所以故（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即.因为，所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令，可得().所以()．4．【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明（1）当时，，原不等式成立。（2）假设时，不等式成立当时，所以时，原不等式成立。综合（1）（2）可得当且时，对一切整数

5、，不等式均成立。（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明。（1）当时由假设知成立。（2）假设时，不等式成立由易知当时由得由（Ⅰ）中的结论得因此，即所以当时，不等式也成立。综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。再由得，即综上所述，证法2：设，则，并且，由此可见，在上单调递增，因而当时。（1）当时由，即可知，并且，从而故当时，不等式成立。（2）假设时，不等式成立，则当时，即有，所以当时原不等式也成立。综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。5．【解析】：（Ⅰ）解法一：再由题设条件知从而是首项为0公差为

6、1的等差数列，故=，即解法二：可写为.因此猜想.下用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立.假设时结论成立，即.则这就是说，当时结论成立.所以（Ⅱ）解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明加强命题：当时，，所以，结论成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而即再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.解法二：设，则先证：…………………………①当时，结论明显成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而即这就是说，当时结论成立，故①成立.再证：………………

7、………………②当时，，有，即当时结论②成立假设时，结论成立，即由①及在上为减函数，得这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.由②得，即因此又由①、②及在上为减函数得，即所以解得.综上，由②③④知存在使对一切成立.6．【解析】（Ⅰ），令，解得.当时，，所以在内是减函数；当时，，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即①若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在①中令，，可得，即，亦即.综上，对，，为正有理数且，总有.②（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有

8、理数.若，则.③用数学归纳法证明如下：（1）当时，，有，③成立.（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则.当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=.因，由归纳假设可得，从而.又因，由②得，从而．故当时，③成立．由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立．说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.7．【解析】（Ⅰ）由，