经典数学归纳法类型题

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1、经典数学归纳法题型一、归项放缩法由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明。有何变式？二、糖水原理放缩法试比较与的大小，用数学归纳法证明之！试想还有其他什么方法？三、整除问题类型略四、形式比较类型已知数列中，，求证：。五、几何类型题空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成个部分。（1）求（2）写出关于n的表达式并用数学归纳法证明六、三角函数类型题已知函数设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对于任何的n，等式都成立。七、导函数思想类型题设是等比数列的各项和，其中（1）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且4；（2）设

2、有一个与上述等比数列首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较和的大小。七、构造类型题已知函数满足：①对任意实数都有，且；②当时，.（1）求证：；（2）用数学归纳法证明：当时，九、数列通项归纳类型题设正数数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，试推测出an的表达式，并用数学归纳法加以证明．十、数列比较大小的类型题1.已知数列{an}满足an＋1＝－a＋pan(p∈R)，且a1∈(0,2)，试猜想p的最小值，使得an∈(0,2)对n∈N*恒成立，并给出证明．42.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－.(1)设c＝，bn＝，

3、求数列{bn}的通项公式；(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．解　(1)an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2.bn＋1＋＝4，又a1＝1，故b1＝＝－1，所以是首项为－，公比为4的等比数列，bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.①当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；②设当n＝k时，ak＜ak＋1，则当n＝k＋1时，ak＋2＝c－＞c－＝ak＋1.故由①②知当c＞2时，an＜an＋1.4当c＞2时，因为

4、c＝an＋1＋＞an＋，所以a－can＋1＜0有解，所以＜an＜，令α＝，当2＜c≤时，an＜α≤3.当c＞时，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝(α－an)＜(α－an)＜(α－an－1)＜…＜(α－1)．所以α－an＋1＜(α－1)，当n＞log3时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3，与已知矛盾．因此c＞不符合要求．所以c的取值范围是.4