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时间:2019-06-19
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1、一、纯弯曲 承受弯曲的梁截面上有剪力及弯矩,FQ是切于横截面的内力系的合力,而M只与截面上的σ有关。 平面弯曲包括两种形式,一种是纯弯曲--只有M,而FQ=0, 另一种是横力弯曲--FQ¹0,M¹0. 实验观察及变形规律 为观察变形,在梁截面上作纵向线aa、bb及mm、nn,使杆件发生纯弯曲变形后,aa和bb弯为弧线,mm及nn仍保持为直线,但相对转过了一个jD角。 由观察到的现象可提出假设: 1>平面假设:变形前为平面的横截面,变形后仍为平面(mm、nn);
2、2>设想梁由无数纵向纤维组成,则上部缩短而下部伸长,由下部伸长到上部缩短过程中存在一中性层,中性层与横截面的交线为中性轴; 3>纵向纤维间无挤压作用。 二、纯弯曲的正应力 1、变形几何关系 设bb距中性轴为y,dx长度的相对转角为dθ,ρ为中性轴曲率半径. (1) 2、物理关系 (2) 3、静力关系 微内力σdA组成垂直于截面的平行力系,可简化为FN、My、Mz
3、 (3) (4) (2)代入(3)即得 Z轴过截面形心C. (2)代入(4)即得 令 上式变为 代入(2)式得 弯曲正应力公式 M--截面弯矩 Iz--惯性矩 y--点距中性轴的距离 说明: σ公式虽然是从矩形截面推出来的, 但对于其他截面如T型钢、I字钢、槽钢
4、、圆形等截面梁仍适用. 必须是平面弯曲、直梁且在比例极限内. 公式是纯弯曲状态得出的,对于横力弯曲理论上不成立, 但由上述公式算出的σ误差小,故近似成立. 三、正应力强度条件 先找出危险截面--Mmax σmax出现在距离中性轴最远的上、下边缘处 例:已知T型铸铁梁 P=3.5KN, a=0.5m, [σ+]=80MPa,[σ_]=150MPa 试校核梁的强度 解
5、:画弯矩图 得Mmax=2FPa=3.5kNm 上压下拉 计算图示T型梁惯性矩 Iz=136cm4 若将其倒置 则安全,总结:不对称截面梁应注意其放置方式。 例题一例题二例题三四、弯曲剪应力 τ的推导较复杂,详见刘鸿文第三版P179、180。 1、矩形截面梁 假设:(1)截面上各点的τ的方向都平行于剪力Q;(2)距中性轴Z等高处的τ的大小相等。 弯曲剪应力公式 式中 Q--横截面上的剪力;
6、 Sz*--所求点处侧部分截面对中性轴的静矩; IZ--截面对中性轴的惯性矩; b--所求点的截面宽度; τ沿高度方向为二次抛物线分布。 2、工字形截面梁 τ仍符合矩形截面梁的剪应力公式,可看作由两块横放的矩形板(翼缘)和一块竖放的矩形板(腹板)组成。 τ绝大部分由腹板承担(0.95Q-0.97Q),而翼缘主要承担大部分弯矩。 3、剪应力强度条件
7、 τmax出现在Qmax截面上,在该截面的中性轴处。此处 σ=0为纯剪切状态。 思考题:选择截面时,σ、τ强度条件应如何选择? 提示:对于矩形、圆形截面,强度由σ控制,τ较小用于校核。 对于工字钢,腹板的τ也较大,选择时应同时满足σ、τ; 对于短梁也应同时满足。例:简支梁AB如图示。L=2m,a=0.2m.梁上的载荷为q=10kN/m,P=200kN。材料的许用应力为。试选择适用的工字钢型号。 解:计算支反力,然后作剪
8、力图和弯矩图。 根据最大弯矩选择工字钢型号。。由弯曲正应力强度条件,有 查型钢表,选用22a工字钢,其Wz=309cm3。校核梁的剪应力。由表中查出,,腹板厚度d=0.75cm,由剪力图 Qmax=210kN。代入剪应力强度条件 应重新选择更大的截面。现以25b工字钢进行试算。 因此,要同时满足正应力和剪应力强度条件,应选用型号为25b的工字钢。五、提高弯曲强度的措施 弯曲σ是控
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