频域性能指标和时域性能指标的关系

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1、5.7频域性能指标和时域性能指标的关系频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。图5-80二阶单位反馈系统的方框图此系统的闭环传递函数为其中为阻尼比，为无阻尼自然振荡频率。令代入上式，可得系统的闭环频率响应为:式中根据式(5-

2、67)可知，当时，在谐振频率处，出现峰值二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。96图5-81图5-80所示系统的闭环频率特性对于二阶系统，在时，频率特性的谐振峰值可以反映系统的阻尼系数，而其谐振频率可以反映给定对应的自然频率,从而也能反映响应速度。这样就可把二阶系统闭环频率特性的和当作性能指标用。系统的频带宽度(带宽)由图5-81可见，当时，闭环频率特性的幅值单调下降。当闭环频率特性的幅值下降到时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分贝值以下分贝时，对应的频率称为截止频率，又称带宽频率。此时有对于，有系统对频率高于的输入衰减很大，只允许频率低于的输入通过。闭环频率特性的分贝值不低

3、于分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽是一个重要的频域性能指标。带宽反映了系统在一定频带范围内比较满意地复现输入信号的能力。带宽大，表明系统能通过较高频的输入;带宽小，表明系统只能通过较低频的输入。因此，带宽大的系统，一方面重现输入信号的能力强;另一方面，抑制输入端高频噪声的能力弱。为了使系统准确地跟踪任意的输入，带宽大好;而从抑制噪声考虑，带宽又不能太大。因此，对带宽要求是有矛盾的，设计中应根据具体情况折衷考虑。96对于一阶系统和二阶，带宽和系统参数具有解析关系。设一阶系统的闭环传递函数为因为，根据带宽的定义(5-141)根据式(5-141)可求得带宽频率在第三章中，我们研究一阶系统

4、的暂态响应时，有这样的结论:取的误差带时，，上升时间。因此(5-142)(5-143)从式(5-142)和(5-143)可以看出，系统的带宽频率和上升时间成反比，也和调节时间成反比。设二阶欠阻尼系统的闭环传递函数为则系统的幅频特性为因为，根据带宽的定义，所以有因而有(5-144)由式(5-144)可知，二阶系统的带宽频率和无阻尼自然振荡频率成正比。设，则有(5-145)96由(5-145)可知，为阻尼比的减函数，即带宽频率和阻尼比成反比。根据第三章中二阶系统的上升时间和调节时间和无阻尼自然振荡频率、阻尼比的关系式(3-42)、式(3-52)及式(3-53)可知，？？？系统的带宽频率和上升时间

5、和过渡过程时间成反比。这一结论也适用于高阶系统。？？？？？？？？？在第三章中曾指出，在时系统的阻尼振荡频率为阶跃响应的最大超调量为和的关系曲线如图5-82所示。由图可见，当愈小时，的值愈大。在的情况下，的值是逐一对应的。而当时，谐振峰值不在存在。图5-82二阶系统和的关系曲线谐振频率和阻尼振荡频率之间存在一定的关系：其关系如图5-83所示。？？？？？？96图5-83二阶系统谐振频率和阻尼振荡频率的关系曲线下面研究二阶系统的相位裕度和阻尼比的关系。图5-80所示的二阶系统的开环频率特性为:在幅值穿越频率处，,即或所以有二阶系统的相位裕度为二阶欠阻尼系统的和在间的关系曲线如图5-84所示。96图

6、5-84典型二阶系统的曲线由图5-81可知,相位裕度为阻尼比的增函数。在的范围内，它们的关系可近似地表示为(5-146)通常，为使控制系统具有良好的动态性能，一般希望相位裕度为，此时，对应二阶系统的阻尼比为。5.7.2高阶系统系统的时域响应和频率响应之间存在一定的数学关系，用复立叶积分式表示为对于高阶系统，进行上述的变换十分困难。实际上经常应用一些近似估计方法。高阶系统的典型闭环幅频特性如图5-85所示。实际中常用以下的频域指标表征系统性能。图5-85高阶系统的典型闭环幅频特性曲线1谐振峰值闭环幅频特性的最大值称为谐振峰值。它反映了系统的相对稳定性。一般而言，的值愈大，则系统阶跃响应的最大超

7、调量也愈大，因而系统的稳定程度较差。通常希望系统的谐振峰值在1.1至1.4之间，相当于。962谐振频率谐振峰值出现时的频率称为谐振频率，它在一定程度上反映了系统暂态响应的速度。值愈大，则暂态响应愈快。3截止频率(带宽频率)当系统闭环幅频特性的幅值降到零频率幅值的0.707(或零频率分贝值以下3dB)时，对应的频率称为截止频率。0至的频率范围称为系统的带宽。它反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反映了系统的响应速