令人惊奇的附物环运动的理论分析

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1、令人惊奇的各种附物环的运动摘要附物环的主题,和他们跳跃的能力在某些情况下,在本世纪初获得了一些人的关注,尤其是Tokieda,Pritchett和Theron.本文重点是扩展的分析运动前箍的状态,包括那些箍不跳的情况。基于经典力学模型下加载环的数值模拟的结果。结果表明,该运动包括各种各样的滚动和滑动交替,其中一些可能不存在。包含三十六个可能的序列的列表。提出了相图来说明各种滑动和滚动阶段之间的关系,以及他们是如何依赖于偏心,摩擦系数和初始角速度。1.引言在本文中对一个附物环的二维动态行为进行了研究，这是指一个刚性箍和一个重粒子被固定在轮辋上。一个装载无质量箍滚动而不滑脱在水平面上的假想问题已

2、经被用于很多年，作为刚体的平面运动一类有趣的室内的问题，并首先由JE的Littlewood1953年在“数学家的杂志“上发表。Tokieda也提出相同的问题，其分析是基于运动的几何方面来考虑。Littlewood和Tokieda断定箍会从静止开始的粒子在其摆线路径的最高点之后，通过90◦轧制后跳。随后论文ButlerTheron与duPlessis考虑的无质量箍能否跳与否的问题。附物环，并认为是刚性的运动，Pritchett,Theron和Liu也提出了一些侧重于跳跃的问题。Tokieda观测了由Fred阿尔姆格伦报告的实验，其中呼拉圈中装入一个电池和跳频通过的Littlewood，即箍离开

3、时的半径到粒子是大致水平地预测和粒子被向下移动。Pritchett也显示了同样的现象，其中一个塑料呼拉圈装有黄铜棒频闪照片。Theron的文章中提出的弹性箍是第一个开发一个模型，通过采取箍的弹性考虑，给出了上述现象的合理解释。本文的跳频现象被搁置而本文强调的是，在调查箍轧制的各种序列，因为它在垂直平面中移动滑移执行。在将箍确实跳的情况下，只分析到跳的条件，并没有进一步进行分析。为了进一步限制分析的范围，只对单个的箍的运动进行了研究。在这些情况下，在初始角速度太小，以确保一个完整旋转，当箍达到零角速度分析被终止，即使它可能仍然在该阶段被滑动前进。这些结果代表一个纯粹的学术活动基于数学模型的摩擦

4、系数恒定值设置非常精确;我们不建议在实践中所有的动作都能复制。2.附物环的数学模型2.1几何学与运动学图1中表示加载箍（或轮）和半径r轧制在水平轨道。箍装入在轮辋上的点P的粒子。点O是箍的中心，和点C是箍与轨道之间的接触点。环箍的位置由角位移来决定的，顺时针方向转动。初始位置被作为位置当颗粒是在顶部。分析被限制为。让表示箍的质量，为粒子质量，总质量满足。质量中心是在点G在从点O的径向距离，其中该偏心率为(1)为随后的分析假设一种情况，当，即，这是用来说明许多本文的数值结果的。环箍近似为刚性的金属丝，使围绕中心O转动惯量是。的装箍的惯性矩点左右O和因此G为；(2)运动学被定义在一个直角坐标系中

5、的坐标轴平行和垂直于轨道所表示的单位矢量i和j，其原点在初始位置上的环与地面的接触点。其中t代表时间，的坐标是和重心的中心的坐标是。对于给T分化是由一个点表示，例如，g为重力加速度。在与表面接触的一个刚性箍具有两个自由度，这是在此为X和。然后引入x(t)和y(t)的限制条件：,(3)箍的基本运动是滚动，其特征在于，所述接触点C的制约因素是暂时静止的；即(4)我们假设运动在由定义的初始位置为，，。以确保从一开始滚动。所做的运动是无量纲的速度和加速度如下：；；；(5)2.2动力学该问题如在图1中所示的三个力方面的定义，即重量，支持力N，并且横向摩擦力F.牛顿第二定律确定了力和加速度之间的关系。在

6、水平方向上，对（3）取微分与（5）可得到（6）垂直方向上或者（7）以环中心做顺时针运动。区域划分且使用（2）和（5）可得（8）由摩擦力最大值放置上的力的约束条件，由表示摩擦系数，根据库仑定律指出（9）该系统的总能量是势和动能的总和，并且由下式给出附物环是滚动的，联立（2）（4）（5）可得（10）2.3滚动如前所述，选择的初始条件，以便确保滚动运动开始。获得用于滚动运动参数的简单的方法是等同的能量的总能量运动。使用（10），并表示该点处滚动开始作为和，（11）注意，对于第一滚动阶段，；为随后的滚动阶段就是滑动端部的位置。从（4）及（5），；将公式带入（6）和（7）（8）中有（12）反作用力现在

7、可以通过（6）和（7）来计算。代入（12）在（6）中，与F简化可以得到（12）这显然意味着，对于，，而，反之亦然;还初始值。此外，从（7）得出的初始值是。定义临界初始速度，，如这意味着，对于在初始正常反应为正，初始角速度必须小于这个临界值。因此，如果箍会立即跳跃。从滚动打滑的过渡发生在点，除非在确定位置的情况下之后到达。2.4旋转和打滑假定箍直到角位移是，打滑时且。滑动运动的初始条件是由和确定。的两种可能的摩