数学发现的艺术

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1、林信安老師編寫數學發現的藝術「解題」是數學中一個主要的活動，從小到大數學的學習活動，都脫離不了學習如何去解題，這個課程主要是取材於George.Polya的<<如何解題>>、<<數學發現>>、<<數學與猜想>>這三部書，希望同學能對於數學方法有更深一層的認識，同時在學習數學的過程中，能有一些遵循的模式與法則。當然並不是所有的問題都能經由這些模式與法則去解決，但是我們試圖舉出一些理性、有效率的建議，以提供同學參考。一、歸納法(1)觀察與歸納什麼是觀察：觀察不是單純去看，單純去看可能會視而不見。觀察是有意識知覺的活動，它與有意注意結合在一起，與思維相聯繫。如何進行觀察呢

2、？第一點要有意識、有目標，處處留心。第二點要有基礎，有必要的相關知識，否則難以看出「門道」，只是外行人看熱鬧。第三點要有方法，否則抓不到要領。在觀察中，要特別注意從個別中想到一般，從平常中發現異常。什麼是歸納：歸納是由個別的事例向關於這一類事物的一般性的過渡，是一種對經驗、對實驗觀察結果進行去蕪存精、去偽存真的綜合處理方法。人們用歸納法清理事實，概括經驗，處理資料，從而形成經驗，發現規律。(2)歸納的過程從一個例子談起¾哥德巴赫(Goldbach)猜想探索接觸：自然數：1,2,3,4…..,….質數的一些性質：觀察：3+3=6，3+5=8，3+7=5+5=10，5+

3、7=12，3+11=14，…..歸納的結果：任意兩個奇質數的和為偶數、任意兩個奇數之和為偶數，任意兩個奇質數的和為大於5的偶數，….反向思考：哥德巴赫的疑問？「大於5的偶數可表為兩個奇質數的和」…….哥德巴赫猜想~10~林信安老師編寫檢驗接觸：Euler常用的「假想實驗」設60=3+質數=5+質數=7+質數=…..一個一個去檢查如果對於一個大於5的偶數，經檢驗證明不對，舉出了「反例」，猜想就錯了，但是至目前為止，對直到33´106的偶數進行驗算，都是對的。自從哥德巴赫於1742年給瑞士數學家歐拉寫了封信，提出了自己證不出的兩個命題：(1)每個大於或等於6的偶數，可表

4、為2個奇質數的和。(2)每個大於或等於9的奇數，可表為3個奇質數的和。至今都無法得知此猜想的正確性。從哥得巴赫猜想的例子，我們研究了兩類資料：一類在建立猜想之前，起了引導、觸發的作用，另一類在猜想形成之後，起了檢驗、支持的作用，對於這兩種情形的研究，都形成了猜想與事實間的某種接觸點：前者帶有探索性，後者帶有支持性。換句話說，當我們建立一個猜想之後，就希望弄清楚猜想的真偽，當我們經過一連串特例的研究與檢驗，如果都支持猜想的話，我們的信心就會更強，這對於解決猜想是有益的。[例題1]法國數學家費馬研究公式Fn=n=1ÞF1=21+1=3n=2ÞF2=24+1=17n=3Þ

5、F3=28+1=257n=4ÞF4=216+1=65537均為質數討論：(1)根據這些結果，你可以形成什麼猜想？(2)費馬這個猜想對嗎？(3)為何費馬不多檢查幾個數呢？(4)多檢查幾個就保險嗎？~10~林信安老師編寫(練習1)考慮如下的表：1=0+12+3+4=1+85+6+7+8+9=8+2710+11+12+13+14+15+16=27+64…….你可以得到什麼猜想？這個猜想真或偽？(3)歸納的態度(a)隨時準備重新審查所得的結論。(b)有充足理由說明應當改變的，就毅然決然改變。(c)沒有充分的根據，則不隨意改變，而應當堅持。二、一般化、特殊化、類比對、增強不對

6、、推翻特殊化一般化、類比(1)從幾個例子談起：(a)哥德巴赫猜想：3+7=10，3+17=20，13+17=30，23+17=40，….奇質數+奇質數=偶數(猜想)回頭檢驗此結論是否正確(b)研究三角形的問題研究正n邊形問題研究三角形的問題研究正三角形的問題研究三角形問題~10~林信安老師編寫研究正三角形的問題觀察：直角三角形、一般三角形的尤拉線一般化特殊化類比類比類比(c)類比的例子：平面上空間中理由：平面上空間中平面上空間中理由：~10~林信安老師編寫(d)商高定理：一般化特殊化類比一般化：從研究對象的一個給定集合，進而考慮包含這個給定集合的更大集合。特殊化：從

7、研究對象的一個給定集合，進而考慮包含在這個給定集合的較小集合。類比：類比是抓住某種相似之處，這種相似性有時候是概念上的相似。確切的說，類比與其他類型的對比，在思想意圖上有所不同，想像的事物在某種意義下是協調一致的。如果我們試圖把這種協調一致的關係歸結為確定的概念，那麼，就是在對這些想像的事物進行類比。(2)用類比來發現的例子：[例題1](1)找一個整數n，n除以3,5,7分別餘1,2,3。(2)找一個多項式f(x),使得f(3)=1，f(5)=2，f(7)=3。(3)一數列{an}，a1=2，a2=4，且2an+2-an+1-3an=0，求an的一般式。~10~