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时间:2019-06-18
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1、林信安老師編寫數學發現的藝術「解題」是數學中一個主要的活動,從小到大數學的學習活動,都脫離不了學習如何去解題,這個課程主要是取材於George.Polya的<<如何解題>>、<<數學發現>>、<<數學與猜想>>這三部書,希望同學能對於數學方法有更深一層的認識,同時在學習數學的過程中,能有一些遵循的模式與法則。當然並不是所有的問題都能經由這些模式與法則去解決,但是我們試圖舉出一些理性、有效率的建議,以提供同學參考。一、歸納法(1)觀察與歸納什麼是觀察:觀察不是單純去看,單純去看可能會視而不見。觀察是有意識知覺的活動,它與有意注意結合在一起,與思維相聯繫。如何進行觀察呢
2、?第一點要有意識、有目標,處處留心。第二點要有基礎,有必要的相關知識,否則難以看出「門道」,只是外行人看熱鬧。第三點要有方法,否則抓不到要領。在觀察中,要特別注意從個別中想到一般,從平常中發現異常。什麼是歸納:歸納是由個別的事例向關於這一類事物的一般性的過渡,是一種對經驗、對實驗觀察結果進行去蕪存精、去偽存真的綜合處理方法。人們用歸納法清理事實,概括經驗,處理資料,從而形成經驗,發現規律。(2)歸納的過程從一個例子談起¾哥德巴赫(Goldbach)猜想探索接觸:自然數:1,2,3,4…..,….質數的一些性質:觀察:3+3=6,3+5=8,3+7=5+5=10,5+
3、7=12,3+11=14,…..歸納的結果:任意兩個奇質數的和為偶數、任意兩個奇數之和為偶數,任意兩個奇質數的和為大於5的偶數,….反向思考:哥德巴赫的疑問?「大於5的偶數可表為兩個奇質數的和」…….哥德巴赫猜想~10~林信安老師編寫檢驗接觸:Euler常用的「假想實驗」設60=3+質數=5+質數=7+質數=…..一個一個去檢查如果對於一個大於5的偶數,經檢驗證明不對,舉出了「反例」,猜想就錯了,但是至目前為止,對直到33´106的偶數進行驗算,都是對的。自從哥德巴赫於1742年給瑞士數學家歐拉寫了封信,提出了自己證不出的兩個命題:(1)每個大於或等於6的偶數,可表
4、為2個奇質數的和。(2)每個大於或等於9的奇數,可表為3個奇質數的和。至今都無法得知此猜想的正確性。從哥得巴赫猜想的例子,我們研究了兩類資料:一類在建立猜想之前,起了引導、觸發的作用,另一類在猜想形成之後,起了檢驗、支持的作用,對於這兩種情形的研究,都形成了猜想與事實間的某種接觸點:前者帶有探索性,後者帶有支持性。換句話說,當我們建立一個猜想之後,就希望弄清楚猜想的真偽,當我們經過一連串特例的研究與檢驗,如果都支持猜想的話,我們的信心就會更強,這對於解決猜想是有益的。[例題1]法國數學家費馬研究公式Fn=n=1ÞF1=21+1=3n=2ÞF2=24+1=17n=3Þ
5、F3=28+1=257n=4ÞF4=216+1=65537均為質數討論:(1)根據這些結果,你可以形成什麼猜想?(2)費馬這個猜想對嗎?(3)為何費馬不多檢查幾個數呢?(4)多檢查幾個就保險嗎?~10~林信安老師編寫(練習1)考慮如下的表:1=0+12+3+4=1+85+6+7+8+9=8+2710+11+12+13+14+15+16=27+64…….你可以得到什麼猜想?這個猜想真或偽?(3)歸納的態度(a)隨時準備重新審查所得的結論。(b)有充足理由說明應當改變的,就毅然決然改變。(c)沒有充分的根據,則不隨意改變,而應當堅持。二、一般化、特殊化、類比對、增強不對
6、、推翻特殊化一般化、類比(1)從幾個例子談起:(a)哥德巴赫猜想:3+7=10,3+17=20,13+17=30,23+17=40,….奇質數+奇質數=偶數(猜想)回頭檢驗此結論是否正確(b)研究三角形的問題研究正n邊形問題研究三角形的問題研究正三角形的問題研究三角形問題~10~林信安老師編寫研究正三角形的問題觀察:直角三角形、一般三角形的尤拉線一般化特殊化類比類比類比(c)類比的例子:平面上空間中理由:平面上空間中平面上空間中理由:~10~林信安老師編寫(d)商高定理:一般化特殊化類比一般化:從研究對象的一個給定集合,進而考慮包含這個給定集合的更大集合。特殊化:從
7、研究對象的一個給定集合,進而考慮包含在這個給定集合的較小集合。類比:類比是抓住某種相似之處,這種相似性有時候是概念上的相似。確切的說,類比與其他類型的對比,在思想意圖上有所不同,想像的事物在某種意義下是協調一致的。如果我們試圖把這種協調一致的關係歸結為確定的概念,那麼,就是在對這些想像的事物進行類比。(2)用類比來發現的例子:[例題1](1)找一個整數n,n除以3,5,7分別餘1,2,3。(2)找一個多項式f(x),使得f(3)=1,f(5)=2,f(7)=3。(3)一數列{an},a1=2,a2=4,且2an+2-an+1-3an=0,求an的一般式。~10~
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