例谈测量问题中的数学模型

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1、例谈测量问题中的数学模型初中几何里面所涉及的测量问题比较多，如测量学校旗杆高度、河的宽度等，但因其涉及全等三角形、相似三角形、解直角三角形等内容且又分布在不同的学段（八年级、九年级），如果教师在教学过程中不加以整合，则难免给人以“零散、不具有系统性”之嫌.鉴于此，笔者特将初中阶段出现过的基本类型进行归类整理，建立如下模型.模型一、测量地面上两点之间的距离当两点之间因存在一些障碍，或某一点无法到达，难以直接测量它们之间的距离时，常构造全等三角形进行间接测量.例1如图1所示，在湖泊的岸边有A、B两点（A、B两点均可到达），但难以直接测量出A、B两点

2、间的距离.请设计一种测量出A、B两点之间距离的方案.并简要说明你设计的理由.解：测量方案：在岸上取一点C，连接AC，延长AC到点E，使CE＝AC；连接BC，延长BC到点D，使CD＝BC.量出DE的长度.理由如下：由于△ABC与△EDC两边及夹角相等，所以这两个三角形全等，故DE＝AB.例2如图2所示，A、B两点表示我军与敌军阵地所在位置，现我军欲动用炮兵部队进行进攻，但炮手因不知A、B两地之间的距离而发愁.亲爱的同学，假若你是阵地的指战员，你能为炮手提供测量A、B两地之间距离的方案吗？解：测量方案：指战员站在C点，运用测角器测出点B的俯角（设为

3、α）.再转身，在保持俯角不变的前提下，选择我后方的某个参照物D.量出AD的长度.理由如下：在△ABC与△ADC中，∠D＝∠B＝α，∠DAC＝∠CAB＝90°，AC＝AC，所以△ABC≌△ADC，故AD＝AB.模型二、测量平面上某点到某直线的距离例3如图3所示，有一条东西方向的铁路，在铁路的北边有一村庄A（村庄与铁路被一座小山隔开），为改善A村的交通状况，决定从A村修建一条公路与铁路相连，请你设计一种方案，测量这条公路的最短长度.解：（1）测量工具：测角器、尺子.（2）测量步骤：①在铁路上选定B、C两点（要求能测出村庄A的方位角）；②分别测出A的

4、方位角；③测量B、C两点之间的距离.（3）测得数据：BC＝m米，∠ABC＝α，∠ACD＝β.（4）求解过程：过A点作AD⊥BC于D点，设AD＝x米.模型三、测量底部能够到达的建筑物的高度例4请设计一个测量方案，能在太阳光下测量学校旗杆的高度（测量工具不限）.解：方案一：利用平面镜、尺子测量旗杆高度.（1）测量步骤：如图4所示，在直线BE上的C点放置一面平面镜（或一盆水），操作人员在射线CE上移动，直到能在平面镜中看到旗杆的顶部.（2）需测数据：BC、CE的长度及操作人员的身高DE.（3）测得数据：BC＝m，CE＝n，DE＝k.（4）求解过程：根

5、据平面镜反射原理有∠ACB＝∠DCE.图4又∠ABC＝∠DEC＝90°，所以△ABC∽△DEC，则有AB:DE=BC:EC，即AB:k=m:n，解得AB=mk/n.（注：此方案在没有太阳光的情况下同样有效）方案二：利用尺子测量旗杆高度.（1）测量步骤：如图5所示，在太阳光下同一时刻分别测出旗杆BC、操作人员的影长EF及操作人员的身高DF.（2）测得数据：BC＝m，EF＝n，操作人员身高DF＝k.（3）求解过程：因为太阳光线可近似看成是一束平行光线，因此∠ACB＝∠DEF.而∠ABC＝∠DFE＝90°，所△ABC∽△DFE，则有AB:DF=BC:

6、EF，即AB:k=m:n，得AB=mkn.方案三：利用小测杆、尺子测量旗杆高度.（1）测量步骤：如图6所示，操作人员手持小测杆DF站在B点，操作人员眼睛所在位置E点、小测杆的顶端D与旗杆的顶端C恰好在同一条直线上；操作人员眼睛所在位置E点、小测杆的底部F与旗杆的底部A恰好在同一条直线上（要求：小测杆DF与手臂EG垂直，手臂EG与躯干EB垂直）.（2）需测数据：操作人员与旗杆之间的距离AB、小测杆的长度DF、操作人员的手臂的长度EG.（3）测得数据：AB＝m，DF＝n，EG＝k.（4）求解过程：因BE∥DF∥AC，故△AEC∽△FED.根据相似三

7、角形对应边上的高线之比等于相似比得AC:DF=AB:EG，即AC:n=m：k解得AC=mn/k方案四：利用测角器、尺子测量旗杆高度.（1）测量步骤：如图7所示，在地面上的B点用测角仪分别测出点C的仰角、点A的俯角，并测出A、B两点之间的距离.（2）测得数据：AB＝m，∠CDE＝α，∠ADE＝β.（3）求解过程：在Rt△CDE中，CE=DE·tanα=m·tanα；同理AE=DE·tanβ＝m·tanβ.故AC=m（tanα+tanβ）.说明：利用测角仪、尺子测量旗杆高度还可采用图8所示的测量方案，在B点用测角仪测出点C的仰角（设为α），用尺子测

8、出测角仪的高度（设为m），A、B之间的距离（设为n），则旗杆高度AC=m+n·tanα.模型四、测量底部不能到达的建筑物的高度例5试设计一个方案，测出