数字图像处理_平滑滤波_频率滤波器

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1、平滑的频域滤波器　边缘和其他尖锐变化(如噪声)在图像的灰度级中主要处于傅里叶变换的高频部分。因此，平滑(模糊)可以通过衰减指定图像傅里叶变换中高频成分的范围来实现。在频率域中，基本的滤波“模型”由式(4.2.27)给出，在这里为方便起见再次给出:(4.3.1)其中，F(u,v)是被平滑的图像傅里叶变换。目标是选择一个滤波器变换函数H(u,v)以通过衰减F(u,v)的高频成分产生G(u，v)。所有在本节中进行的滤波都基于4.2.3节中指出的过程，包括使用“零相移”的滤波器。这里考虑三种滤波器：理想滤波器、巴特沃思滤波器和高斯滤波器。这三种滤波器涵盖了从非常尖锐(理想)到非常平坦

2、(高斯)范围的滤渡器函数。巴特沃思滤波器有一个参数，称为滤波器的“阶数”。当此参数的值较高时，巴特沃思滤渡器接近理想滤波器。因此，巴特沃思滤波器可看做两种“极端”滤波器的过渡。一．理想低通滤波器所想像的最简单的低通滤波器是“截断”傅里叶变换中所有高频成分，这些成分处在距变换原点的距离比指定距离D0要远得多的位置。这种滤波器称为二维理想低通滤渡器(ILPF)，其变换函数为：(4.3.2)其中，D0是指定的非负数值，D(u,v)是(u,v)点距频率矩形原点的距离。如果要研究的图像尺寸为M×N，它的变换也有相同的尺寸，所以如式(4.2.21)中讨论的那样，由于变换被中心化了，所以，

3、频率矩形的中心在(u,v)=(M／2,N／2)处。在这种情况下，从点(u,v)到傅里叶变换中心(原点)的距离如下所示：(4.3.3)图4.l0(a)显示了H(u,v)作为u和v函数的三维透视曲线，图4.10(b)将H(u,v)作为图像显示。“理想滤波器”的名称表明在半径为D0的圆内，所有频率段有衰减地通过滤波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉。在本章所考虑的滤波器是关于原点辐射状对称的。这意味着从原点沿着半径线延伸的距离函数的横截面足以满足一个指定的滤波器．如图4.10(c)所示。完整的滤波器变换函数可将此横截面绕着原点旋转360o来实现。对于理想的低通滤波器横截面

4、，在H(u,v)=1和H(u,v)=0之间的过渡点称为“截止频率”。例如，在图4.10中，其截止频率为D0。理想低通滤波器的这种陡峭的截止频率是不能用电子部件实现的，尽管它们可以在计算机上实现。在数字图像中使用这些“非物理可实现’’的滤波器的作用将在本节后面的部分中讨论。在本节中介绍的低通滤波器用具有相同截止频率的函数研究它们的特性而加以比较。一种建立一组标准截止频率位置的方法是计算包含指定总图像功率值Px的范围。这个值是将每个点(u,v)的功率谱成分相加得到的，其中u=0，l，2，…，M-l,v=0,1,2,…,N-1即：(4.3.4)其中，P(u,v)在式(4.2.20)

5、中给出。如果变换被中心化、原点在频率矩形的中心、半径为r的圆包含a％的功率，其中(4.3.5)总和取处于圆之内或边界线上的(u,v)值。　例4.4作为距DFT原点距离函数的图像功率图4.l1(a)显示了在图3.35中用来说明空问模糊的测试模式。这幅图像的傅里叶谱示于图4.11(b)。在谱中叠加的圆周分别有5，15，30，80和230像素的半径(半径为5的圆周不易看见)。这些圆周包围的图像功率的百分比分别为92.0％，94.6％，96.4％，98%和99.5％。谱迅速衰落，92％的功率包含在相对较小的半径为5的圆周之内。图4.12显示了应用图4.11(b)所示半径处截止频率的理

6、想低通滤波器的结果。图4.12(b)没有实际意义，除非在这种情况下模糊的目标是要消除图像的所有细节，只用“斑点”来代表最大的物体。在此图像中严重的模糊表明，图像中多数尖锐的细节信息包含在被滤除掉的8％的功率之内。随着滤波器半径的增加，越来趣少的功率被滤除掉，使得模糊减弱。注意，在从图4.12(c)到(e)中都有“振铃”特征，而当被滤除的高频内容的数量减少时．图像的质量逐渐变好。振铃是明显的，因为图像中只有2％的功率被除掉了。这种振铃现象是理想滤波器的特性，稍后将进行解释。最后，当a=99.5％时的观察结果在噪声区域内有非常小的模糊，大部分图像与原始图像非常接近。这表明在此特殊

7、情况下，图像的边缘信息包含在0.5％以上的谱功率中。从这个例子中，可以清楚地看到理想低通滤波器非常不实用。然而，因为理想滤波器可以在计算机上实现，所以作为滤波概念发展的一部分，研究滤波器的特性非常有用。同时，如以下讨论所示，在试图解释ILPF在空间域的振铃特性时可以得到一些有趣的现象。ILPF模糊和振铃特性可参考如4.2.4节讨论的卷积定理来解释。原始图像f(x,y)傅里叶变换和模糊的图像g(x，y)在频率域中相互关联，如下式所示：其中，与前面一样，H(u,v)还表示滤波器函数，而F和G分别是两个刚刚提