孙旭东--解析几何

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1、2012苏省数学夏令营竞赛讲座解析几何一、知识要点和基本方法1．直线系方程：共点直线系、平行直线系．2．圆的方程：标准方程、一般方程、参数方程（θ为参数）．3．圆的切线、弦、切线方程、切点弦方程、公共弦方程．4．过交点的圆锥曲线系：．5．焦半径和焦点弦的两种形式．6．已知切点的切线方程：椭圆、双曲线、抛物线在点P(x0，y0)处的切线方程为、，。二、例题选讲例1平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y＝x＋的距离中的最小值是()(A)(B)(C)(D)例2若直线系C：xcost＋(y＋1)sint＝2中的三条直线围成正三角形区域D，则区

2、域D的面积为．例3在平面直角坐标系中，点集M＝{(x，y

3、α，β∈R)}．求点集M所覆盖的平面图形的面积．例4关于x、y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆；（2）若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且

4、MN

5、＝，求m的值；（3）若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为原点），求此时m的值．例5如图，P是抛物线y2＝2x上的动点，点B，C在y轴上，圆(x－1)2＋y2＝1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．第5页共5页2012苏省数学夏令营竞赛讲座例6（1）

6、给定A（－2，2），已知B是椭圆＋＝1上的动点，F是左焦点，当

7、AB

8、＋

9、BF

10、取最小值时，求B的坐标．（2）给定A（－2，2），已知B是椭圆＋＝1上的动点，F是左焦点，求

11、AB

12、＋

13、BF

14、的最小值和最大值．例7（1）已知抛物线C：y2＝2px．AB为过抛物线焦点F的弦，O为坐标原点，M为抛物线的准线与x轴的交点．若∠OFA＝120°，求tan∠AMB．（2）点F为抛物线y2＝2px的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，l1，l2分别是该抛物线在A，B两点处的切线，l1，l2相交于点C．设AF＝a，BF＝b，则CF＝()A．B．C．

15、D．例8设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，线段PQ是过左焦点F且不与x垂直的焦点弦．若在左准线上存在点R，使△PQR为正三角形，求椭圆的离心率e的取值范围，并用e表示直线PQ的斜率．ABPOxy(第9题)F1F2例9如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．已知(1，e)和(e，)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．(i)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率；(

16、ii)求证：PF1＋PF2是定值．第5页共5页2012苏省数学夏令营竞赛讲座xyOPB1B2A1A2例10已知抛物线及点P(1，1)，过点P的两条不重合的直线、与这抛物线分别交于点、，、（如图），、的斜率分别为、．证明：＝成立的充要条件为＋＝0．例11过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a，0)作直线l交椭圆于Q，交y轴于R，过原点O作直线l的平行线l′交椭圆于P．证明：

17、AQ

18、，

19、OP

20、，

21、AR

22、成等比数列．（2009清华自主招生考题）例12设直线L：y＝kx＋m(其中k，m为整数)，与椭圆＋＝1交于不同两点A、B，与双曲线－＝1交于

23、不同两点C、D，问是否存在直线L，使向量＋＝．若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，说明理由．例13已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．（2010全国联赛）例14NMPAxyBCO如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限．过P作x轴的垂线，垂足为C．连结AC并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．对任意k＞0，求证：PA⊥PB.（2010江苏高考）第5页共5页2012苏省数学夏令营竞赛讲座例15设M是椭圆C：＋＝1上的一点

24、，P、Q、T分别为点M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．例16（1）已知抛物线C：y2＝4x．过抛物线上点M(4，4)的直线l1，l2互相垂直，且与抛物线C分别交于点A，B（异于点M）．求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标．答案：（8，－4）（2）直线x－2y－1＝0与抛物线y2＝4x交于A，B两点，C为抛物线上的一点，∠ACB＝90°，则点C的坐标为．例17（1）已知抛物线C：y2＝4x．过抛物线上点M(4，4)的不重合的直线l1，l2关于直

25、线x＝4对称，且与抛物线C分别交于点A，B（异于点M）．求证：直线AB的斜率为定值．（2）A，B，C，D在抛物线x2＝4y上，A，D关于抛物线的对称轴对称．过D作抛物线的切线，B