2012新高考全案第2章函数与基本的初等函数第3讲函数的单调性及值域

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1、1．单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为Ⅰ.如果对于定义域Ⅰ内某个区间D上的，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．任意两个自变量的值x1，x2f(x1)＜f(x2)如果对于定义域Ⅰ内某个区间D上的，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．如果函数y＝f(x)在区间D上是，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做f(x)的单调区间．任意两个自变量的值x1，x2f(x1)＞f(x2)增函数或减函数单调性2．函数单调性的应用(1)比较大小；(2)求函数的值域或最值；(3)解、证不等式；(4)作函数

2、的图象．3．证明函数单调性的方法(1)定义法(基本方法)：其一般步骤是：①取值：设x1、x2为所给区间内D的任意两个值，且x1＜x2；②作差(正值可作商)：f(x1)－f(x2)；③变形；④定号；⑤结论．(2)导数法：①求导f′(x)；②判断f′(x)在区间Ⅰ上的符号；③结论：f′(x)＞0⇒f(x)在Ⅰ上为，f′(x)＜0⇒f(x)在Ⅰ上为．增函数减函数4．判断函数单调性的方法(1)定义法；(2)求导法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用图象．5．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(

3、g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为．简称为：同增异减．增函数减函数6．函数的最大(小)值(1)定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)．②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值(最小值)．(2)求法：①配方法；②判别式法；③不等式法；④换元法；⑤数形结合；⑥单调性法．(3)求最值时注意的问题①

4、求函数最值的方法，实质与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异．②无论何种方法求最值，都要考虑“＝”能否成立．7．函数的值域(1)函数的值域的概念在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(2)确定函数值域的原则①当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合．②当函数y＝f(x)由图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合．③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．④当函数由实际问题给出时，函数的值域还应考虑问题的实际意义．1．如果函数

5、f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．[－3，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，5]D．[3，＋∞)[解析]f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝1－a，∴f(x)在(－∞，1－a]上是减函数，要使f(x)在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a≥4，即a≤－3.[答案]B[答案]C3．(2010·山东文数)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)[答案]A[点评与警示]用定义证明函数的单调性就是在定义域内取任意两数x1，x2(x

6、10.这通常需要将f(x1)－f(x2)分解成几个可判断符号的式子的乘积．已知函数f(x)＝x3－ax.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．[解](1)解法一：(定义法)．设x1

7、a>0，即a0，所以只需a≤0.即a≤0时，函数f(x)在R上单调递增．解法二：(导数法)，因为f′(x)＝3x2－a，若f(x)在R上递增，则由f′(x)>0，得3x2－a>0，即a<3x2在R上总成立．所以a<0.又容易知道，当a＝0时，f(x)在R上是增函数，所以a≤0为所求．(2)由于3x2－a<0在(－1,1)上总是成立，所以a>3x2.而x∈(－1,1)时，0≤3x2<3，所以a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．[点评与警示](