辅助线(2)----半角旋转

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1、全等三角形的综合运用（2）【知识要点】一、全等三角形、等腰三角形的综合运用；二、特殊的构造手法：半角旋转、截长补短.构造专题二：半角旋转问题1.如图1，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的两点，且∠EAF=45°.（1）求证：BE+DF=EF；（若正方形的连长为a，则△CEF的周长等于2a）（2）求证：AE平分∠BEF；AF平分∠DFE；（3）作AH⊥EF，求证：AH=AB.（4）如图2，若E在CB的延长线上，F在DC的延长线上，且∠EAF=45°，试探索线段BE、DF与线段EF的数量关系.2.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，沿直线AE折叠正方形ABCD，

2、使点B落在形内的点H，延长EH交CD于点F.（1）求证：∠EAF=45°；（2）求证：BE+DF=EF；（3）求证：AF平分∠DFE.53.如图1，∠POQ=90°，OD平分∠POQ，将边长为2的正方形的两顶点、分别在OP、OQ上，线段AB交OD于点M，线段BC交OQ于点N..（1）现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当点第一次落在OD上时停止旋转，则边OA在旋转过程中所扫过的面积为；（2）如图2，在（1）中的旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△BMN的周长为，在旋转正方形OABC的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.4.已知：如图，正方

3、形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN，猜想线段BM、DN和线段MN之间有何确定的数量关系？写出你的结论并证明.55.如图1，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M为BC的中点，D、E分别在两腰AB、AC上，且∠DME=45°.（1）求证：AD+DE=CE（即△ADE的周长等于AB）；（2）如图2，若点D在BA的延长线上时，其它条件不变，探索线段AD、DE与线段CE之间的数量关系.6.如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E为BC上的两点，∠DAE=45°，求证：以BD、CE、DE为边的三角形

4、为直角三角形（直角三角形的勾股定理：BD2+CE2=DE2）.57.已知△ABC为等边三角形，△BCD为顶角为120°的等腰三角形，DB=DC，∠BDC=120°.（1）如图1，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求证：BE+CF=EF（△AEF的周长等于2AB）；（2）如图2，E为BA延长线上一点，F为BC延长线上一点，且∠EDF=60°，试探索线段BE、CF与线段EF之间的数量关系.（3）如图3，E、F分别在BD、CD上，且∠EAF=30°，求证：BE+CF=EF（△DEF的周长等于2BD）；（4）如图，先将图1中的△BDC沿BC翻折，使D点落在等边△ABC内

5、部，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求证：△AEF的周长等于AB.58.如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠B+∠C=180°，E、F分别在BD、CD上，且∠EAF等于∠BAC的一半，那么线段BE、CF与线段EF之间满足怎样的数量关系？写出你结论并证明.9.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BAD=ADC=120°，点E为CD上的一个动点，F为BC上一点，EAF=60°，过点E作EM∥BC交AF于点M，求证：EM=DE+BF.5