平面波_球面波和柱面波间的表示

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1、第16卷第1期大学物理Vol.16No.11997年1月COLLEGEPHYSICSJan.1997平面波、球面波和柱面波间的表示奚定平(深圳大学应用物理系,深圳518060)a摘要讨论了平面波、球面波和柱面波之间的表示,并给出明确公式和计算实例.关键词波;叠加;波动方程分类号O411.1许多教材介绍了平面波用球面波(球函数)写为[1,2]22展开,这种方法在散射理论中经常被用到.9u29u19u2222=a2+,Q=x+y(4)在球坐标(r,H,U)中,波矢为k的平面波可展成9t9QQ9Q球函数的级数式(4)给出的柱面波的特解为∞-iXtuc(k,Q,t)=A(k)eJ0(kQ)ik·r

2、le=i(2l+1)jl(kr)Pl(cosD)6-iXt(1)l=0+B(k)eH0(kQ)(5)∞l(1)l3其中,J0(x)和H0(x)分别是零阶贝塞尔函数=4P6ijl(kr)6Ylm(H′,U′)l=0m=-l和第一类汉克尔函数,k=Xöa.式(5)给出的柱õYlm(H,U)面波实际是驻波,其第二项在Q0时发散.其中,D是r(H,U)和k(H′,U′)间的夹角,cosD=cosHcosH′+sinHsinH′cos(U-U′).jl(kr)是球贝塞尔函数,Pl(x)是勒让德多项式,Ylm(H,U)是球函数.本文讨论平面波、球面波和柱面波间的其它表示.三维空间$波动方程22utt-

3、au=0,-∞

4、inH,x=QcosU,y在标坐标中,柱面波满足的方程由式(1)改a收稿日期:1996-01-03,修回日期:1996-05-024大学物理第16卷=QsinU.柱面波则是利用不同方向角H的平面将上述关系代入式(13),积分限变换到N由-波叠加而成.∞到at-Q,有Pat-Qf1(N)dNuc(Q,t)=f[at-Qcos(H-U)]dH(8)uc(Q,t)=2(14)∫01∫-∞(at-N)2-Q2令at-Qcos(H-U)=N,则有若用式(3)中向心汇聚球面波叠加,则得到柱面22Q-(at-N)波为Q=,sin(H-U)(9)∞f2(N)dNuc(p,t)=2(15)dN=-Qdcos

5、(H-U)2∫at+Q22(at-N)-Q将上式代入式(8)计算,积分限由0～P变换到N由at-Q到at+Q,于是有Pf[at-Qcos(H-U)]QdHuc(Q,t)∫0Qat+Qf(N)dN=(10)∫at-QQ2-(at-N)2例若取平面波为X-i(at-xcosH-ysinH)f(at-Ax-By)=ea,求叠加的柱面波.由式(10)有Xat+QiNeadNuc(Q,t)=∫at-QQ2-(at-N)2图2XQ-iG-iXtea=edG∫-QQ2-G2(1+)3球面波用平面波叠加表示-iXcoskQs=2eds∫01-s2如图3所示,传输方向用n表示的平面波是2-iXt=J0(kQ

6、)e(11)P[7]其中,最后一步利用了公式(1+)1cosztJ0(z)=dt(12)Pi∫0t2-1适当改变积分路径也可得到用汉克尔函数表示的柱面波.2柱面波用球面波叠加表示用出射球面波叠加出柱面波,如图2所示.图3对不同z值的球面波叠加∞f1(at-r)uc=dzup(r,t)=f(at-Ax-By-Cz)1∫-∞r=f(at-rõn)∞22)f1(at-Q+z=2∫22dz(13)=f(at-rcosE)(下转2页)0Q+z22令at-Q+z=N22则有Q+z=at-N,和(at-N)dNdz=-22(at-N)-Q2大学物理第16卷与电子射相结合.因显微像形成于物镜的物平在联系,

7、及二者信息的互补关系,取得了很好的面,衍射花样形成于后焦面,故二者互成傅里叶效果.变换关系.像的分辨率受显微镜分辨本领所限,参考文献而衍射分辨率则不受此限制.所以衍射花样的信息量比显微像多.但前者只能记录下波振幅,1LiFH.Two-stageimageprocessinginhighresolutionelectronmicroscopyandelectrondiffraction,Proc.13th失去了相位.后者信