启东中学高三数学第二次质量检测

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1、启东中学高三数学第二次质量检测数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲．【答案】2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是▲．【答案】3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果是▲．纤维长度频数[22.5，25.5)3[25.5，28.5)8[28.5，31.5)9[31.5，34.5)11[34.5，37.5)10[37.5，40.5)5[40.5，43.5]4（第4题）i←1Whilei<6i←i2S←2i3EndWhilePrintS（第3题）【答案】

2、174．现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是▲．【答案】1805．100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是▲．【答案】（或0.16）6．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标是▲．【答案】27．现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是

3、▲cm．【答案】8．函数的定义域是▲．【答案】9．已知是公差不为0的等差数列，是其前n项和．若，，则的值是▲．【答案】10．在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是▲．【答案】11．如图，在平面四边形中，为的中点，且，．若·7，BCDO(第11题)A则·的值是▲．【答案】912．在△中，已知，，则的最大值是▲．【答案】13．已知函数其中．若函数有3个不同的零点，则m的取值范围是▲．【答案】14．已知对任意的，恒成立，则当取得最小值时，的值是▲．【答案】二、解答题：本大题

4、共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）已知，．求：（1）的值；（2）的值．解：（1）法一：因为，所以，又，所以．……3分所以．……6分法二：由得，，即．①……3分又.②由①②解得或．因为，所以．……6分（2）因为，，所以．……8分所以，．……12分所以．……14分16．（本小题满分14分）BC1ACA1B1D(第16题)E如图，在直三棱柱中，，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面平面．证明：（1）在直三棱柱中，四边形A1ACC1为平行四边形．又E为

5、A1C与AC1的交点，所以E为A1C的中点．……2分同理，D为A1B的中点，所以DE∥BC．……4分又平面B1BCC1，平面B1BCC1，所以DE∥平面B1BCC1．……7分（2）在直三棱柱中，平面ABC，又平面ABC，所以．……9分又，，平面，所以平面．……12分因为平面所以平面平面．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点的坐标为，求a，b的值；(第17题)OABCxy（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且，求直线AB的斜

6、率．解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即．①又因为点在椭圆上，所以．②……3分由①②解得．因为，所以．……5分（2）法一：由①知，，所以椭圆方程为，即．设直线OC的方程为，，．由得，所以．因为，所以．……8分因为，所以．可设直线的方程为．由得，所以或，得．……11分因为，所以，于是，即，所以．所以直线AB的斜率为．……14分法二：由（1）可知，椭圆方程为，则．设，．由，得，所以，．……8分因为点B，点C都在椭圆上，所以解得，，……12分所以直线AB的斜率．……14分18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边

7、界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：°，）领海AB北(第18题)30°公海l（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．解：（1）设缉私艇在处与走私船相遇（如图甲），依题意，．……2分在△中，由正弦定理得，．因为

8、°，所以°．从而缉私艇应向北偏东方向追击．……5分ABC图甲在△中，由余弦定理得，，解得．又B到边界线l的距离为．因为，所以能在领海上成功拦截走私船．……8分（2）如图乙，以为原点，正北方向所在的直线为轴建立平面直角坐标系．则，设缉私艇在处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则，即．整理得，，……12分所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．因为圆心到