公开课教案——函数的单调性与导数

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1、2011-2012学年第二学期宣城中学公开课课题：导数的应用——函数的单调性时间：2012年2月14日节次：第四节课班级：高二（9）班教师：童昌盛教学目标：1、知识目标：使学生了解可导函数的单调性与其导数的关系，掌握如何利用导数符号判断函数的单调区间和证明函数的单调性，提高学习导数和应用导数的意识。2、能力目标：使学生提高用新知识解决复杂函数单调性的能力；培养学生数形结合的数学思想。3、德育目标：通过带领学生对实例的分析培养学生用普遍联系的观点看待事物，加强师生间的交流，感受数学内容的统一性。教学重点：如何

2、利用导数的符号判断函数的单调区间教学难点：导数符号与函数单调性的关系教学方法、教学手段：教学方法：建够式教法通过让学生观察图象，判断切线斜率的正负号，并结合导数的几何意义，得到的正负号，从而得到判断函数单调性的新方法。教学手段：计算机课件演示教学课时：1课时教学过程：[设置情境，引入新课]提出问题：1、函数的导数的几何意义是什么？2、函数在某个区间上是增函数（减函数）的意义？[观察图象，探索研究]带领学生一起通过计算机演示观察下面函数的图象：2011-2012学年第二学期宣城中学公开课请同学回答问题：（1）

3、此函数在哪个区间内是增函数？哪个区间是减函数？（2）在增区间或减区间内曲线的切线的斜率和的导数有什么特征呢？说明：（1）为了让学生更直观地理解，利用几何画板进行计算机演示，（2）同时也培养学生数形结合的数学思想。学生活动：通过讨论分析，得出结论，列出表格：切线的斜率（）增函数正大于0（-）减函数负小于0继续向学生提问：能否根据函数的导数的正负来判断函数的单调性呢？学生回答，老师板书：定理：设函数在某个区间内可导（1）如果，则为增函数；（2）如果，则为减函数。在学生得出上面结论的基础上提问：如果在某个区间内恒

4、有，是什么函数？学生活动：相互讨论交流，回答：函数为常函数。同时老师板书。[运用知识，解决问题]例1、确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.处理方式：让学生先根据以前的知识将函数的图象画出来，找出相应的单调区间，然后利用新知识加以判断。学生活动：解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.说明：先让

5、学生从“形”的角度上得出结论，然后用导数的符号加以判断，这样不仅起到了对定理的验证，而且还培养了学生“数”与“形”的结合思想。例2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.处理方式：由于学生对这个函数图象比陌生，因此，让学生先利用新学的定理确定出单调区间，然后根据结论画出相应函数的草图。学生活动：2011-2012学年第二学期宣城中学公开课图3—18解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f

6、′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.说明：这道例题处理方式有别于例1，是因为学生利用以往知识来研究高次函数的单调区间很困难，因此，先利用导数符号确定单调区间，不仅让学生体会到导数的优越性，而且又从“数”回到“形”，让“数”与“形”有机的结合起来，使学生更直观地认识这一函数。通过解决这两道例题，让学生明白利用导数符号可以确定单调区间，尤其是复杂函数的单调区间，请学生

7、总结提炼出利用定理确定单调区间的步骤。学生活动：步骤：（1）先求函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。例3、证明函数在区间（-2，1）内是减函数。学生活动：写出证明过程证明：当时，所以函数在区间（-2，1）内是减函数。增选例题3的说明（1）是为了下节求函数的极值做准备，这样可以起到承上起下的作用，（2）是让学生明白利用导数的符号也可以证明函数的单调性，（3）进一步说明用导数符号证明复杂函数单调性要比用函数单调性的定义证明要简捷，体现

8、了导数的广泛应用。[练习反馈，巩固知识]学生活动：完成教材第128页练习1、2[小结归纳，知识重现]老师带领学生小结：1、这节课主要学习了利用导数符号确定函数单调区间及证明函数单调性的方法：定理：设函数在某个区间内可导（1）如果，则为增函数；2011-2012学年第二学期宣城中学公开课（2）如果，则为减函数，（1）如果，则为减函数。1、确定函数单调区间时，首先确定函数的定义域，然后再利用导数的符号来判断相应的单调