常用的傅里叶变换和常用的积分

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1、通信原理附录A傅利叶变换的运算特性序号时域f(t)频域F(ω)频域F(f)nn∞1∑aifi(t)∑aiFi(ω)∑aiFi(f)i=1i=1i=12F(t)2πf(-ω)f(-f)1ω1ff(at)FF

2、a

3、a

4、a

5、a3f(-t)F(-ω)F(-f)f(t-t0)F(ω)e-jωt0F(f)exp(-j2πft0)4ωt2πft1ω-j01f-j0f(at-t0)FeaFea

6、a

7、a

8、a

9、af(t)ejω0tF(ω-ω0)F(f-f0)11f(t)cos(ω0t)[F(ω+ω0)+F(ω-ω0)][F(f+f0)+F(f-f0)]522jjf(t

10、)sin(ω0t)[F(ω+ω0)-F(ω-ω0)][F(f+f0)-F(f-f0)]22df(t)jωF(ω)j(2πf)F(f)dt6dnf(t)(jω)nF(ω)(j2πf)nF(f)ndtdF(ω)dF(f)-jtf(t)dωdf7dnF(ω)dnF(f)(-jt)nf(t)ndfndωt11F(0)8∫f(τ)dτF(ω)+πF(0)δ(ω)F(f)+δ(f)-∞jωj2πf29f1(t)*f2(t)F1(ω)F2(ω)F1(f)·F2(f)110f1(t)f2(t)[F1(ω)*F2(ω)]F1(f)*F2(f)2π∞∞∞12πn1n1

11、1∑f(t)δ(t-nTs)T∑Fω-TT∑Ff-Tn=-∞sn=-∞ssn=-∞s∞∞∞2πn12∑ft-ωωs∑F(ω)δ(ω-nωs)fs∑F(nfs)δ(f-nfs)sn=-∞n=-∞n=-∞R(τ)F*(ω)F(ω)F*(f)·F(f)12121213R21(τ)F(ω)F*(ω)F(f)·F*(f)121214R(τ)

12、F(ω)

13、22F(f)·504·附录B常用信号的傅利叶变换表序时间函数频谱函数信号名称波形图jφ(ω)频谱图号f(t)F(ω)=

14、F(ω)

15、e-at单边指Aeu(t)A1数脉冲(a>0)a+jω附录-a

16、t

17、双边指Ae2

18、aA222数脉冲(a>0)a+ωτωτA

19、t

20、

21、t

22、≥2sinω2续表序时间函数频谱函数信号名称波形图频谱图jφ(ω)号f(t)F(ω)=

23、F(ω)

24、e钟形t2ωτ24A·e-τπAτ·e-2脉冲通信原πtτωτAcos

25、t

26、

27、t

28、≥1-2πA2πtτωτ1+cos

29、t

30、

31、t

32、≥21-2π通信原理附录C随机变量函数的概率密度已知随机变量X1,X2的联合概率密度pX,X(x1,x2),且随机变量Y1,Y2为X1,12X2的函

33、数:Y1=f1(X1,X2)Y2=f2(X1,X2)(C.1)反函数为多值函数:X1=φ1(Y1,Y2)X2=φ2(Y1,Y2)(C.2)具有若干多值区:X1=φ11(Y1,Y2)X1=φ21(Y1,Y2)X2=φ12(Y1,Y2)X2=φ22(Y1,Y2)(C.3)平面(x1,x2)和(y1,y2)的对应关系示于附图C.1,附图C.2。附图C.1附图C.2由附图C.1、附图C.2和式(C.1)、式(C.2)、式(C.3)可见,概率P[A(y1,y2)∈dS]=P[B(x1,x2)∈dS1或B(x1,x2)∈dS2或B(x1,x2)∈dS3⋯]根据

34、不相容事件概率相加法,则有P[A(y1,y2)∈dS]=P[B(x1,x2)∈dS1]+P[B(x1,x2)∈dS2]+P[B(x1,x2)∈dS3]+⋯(C.4)由式(C.4)得pYY(y1,y2)dS=pXX(x11,x21)dS1+pXX(x12,x22)dS2+121212pXX(x13,x23)dS3+⋯(C.5)12dS1pYY(y1,y2)=pXX(x11,x21)+1212dSdS2dS3pXX(x12,x22)+pXX(x13,x23)+⋯(C.6)12dS12dS·510·附录由数学理论可知,平面(x1,x2)上的小面积dSK与

35、平面(y1,y2)上的对应小面积dS之比称为雅可比,通常以J表示。x1x2dSKy1y1(x1,x2)J===(C.7)dSx1x2(y1,y2)y2y2且有(x1,x2)1=(C.8)(y1,y2)(y1,y2)(x1,x2)据式(C.6)和(C.7)得(x11,x21)(x12,x22)pYY(y1,y2)=pXX(x11,x21)+pXX(x12,x22)1212(y1,y2)12(y1,y2)(x13,x23)+pXX(x13,x23)+⋯(C.9)12(y1,y2)如果(Y1,Y2)和(X1,X2)之间为一一对应关系(单值函数),则有(x

36、1,x2)pYY(y1,y2)=pXX(x1,x2)1212(y1,y2)=pXX[(x1(y1,y2),x2(y1,y2