初中数学“最值问题”集锦(一)

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1、“最值问题”集锦(一)●平面几何中的最值问题…………………01●几何的定值与最值………………………07●最短路线问题……………………………14●对称问题…………………………………18●巧作“对称点”妙解最值题……………22●平面几何中的最值问题在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在一起,统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经济、最节约和最高效率.下面介绍几个简例.在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的面

2、积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种:(1)应用几何性质:①三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;②两点间线段最短;③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;④定圆中的所有弦中,直径最长。⑵运用代数证法:①运用配方法求二次三项式的最值;②运用一元二次方程根的判别式。例1、A、B两点在直线l的同侧,在直线L上取一点P,使PA+PB最小。分析:在直线L上任取一点P’,连结AP’,BP’,在△ABP’中AP’+BP’>AB,如果AP’+BP’

3、=AB,则P’必在线段AB上,而线段AB与直线L无交点,所以这种思路错误。取点A关于直线L的对称点A’,则AP’=AP,25在△A’BP中A’P’+B’P’>A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’=A’B,所以这时PA+PB最小。1已知AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为R.由于AB∥CD,必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那

4、么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.  解作DE⊥AB于E,则 x2=BD2=AB·BE=2R·(R-y)=2R2-2Ry,所以所以求u的最大值,只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2,上式只有当x=R时取等号,这时有所以     2y=R=x.所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点C,D,这时,梯形的底角恰为60°和120°.2.如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最大面积,使得窗户透光最好

5、?分析与解设x表示半圆半径,y表示矩形边长AD,则必有       2x+2y+πx=8,若窗户的最大面积为S,则25把①代入②有即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大.3.已知P点是半圆上一个动点,试问P在什么位置时,PA+PB最大(图3-93)?分析与解因为P点是半圆上的动点,当P近于A或B时,显然PA+PB渐小,在极限状况(P与A重合时)等于AB.因此,猜想P在半圆弧中点时,PA+PB取最大值.  设P为半圆弧中点,连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,连CB,则CB是切线.为了

6、证PA+PB最大,我们在半圆弧上另取一点P′,连P′A,P′B,延长AP′到C′,使P′C′=BP′,连C′B,CC′,则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°,所以A,B,C′,C四点共圆,所以∠CC′A=∠CBA=90°,所以在△ACC′中,AC>AC′,即PA+PB>P′A+P′B.4如图3-94,在直角△ABC中,AD是斜边上的高,M,N分别是△ABD,△ACD的内心,直线MN交AB,AC于K,L.求证:S△ABC≥2S△AKL.  证连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.因为在△ABC中,∠A

7、=90°,AD⊥BC于D,所以∠ABD=∠DAC,∠ADB=∠ADC=90°.25因为M,N分别是△ABD和△ACD的内心,所以∠1=∠2=45°,∠3=∠4,所以  △ADN∽△BDM,又因为∠MDN=90°=∠ADB,所以△MDN∽△BDA,所以     ∠BAD=∠MND.由于∠BAD=∠LCD,所以  ∠MND=∠LCD,所以D,C,L,N四点共圆,所以∠ALK=∠NDC=45°.同理,∠AKL=∠1=45°,所以AK=AL.因为△AKM≌△ADM,所以     AK=AD=AL.而而从而所以S△AB

8、C≥S△AKL.5.如图3-95.已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P,Q.求证:PQ≤AB.  证设过P,Q的直线与AB,AC分别交于P1,Q1,连结P1C,显然,PQ≤P1Q1.因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°,所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角.若∠AQ1P1≥90°,则PQ≤P1Q1≤AP1≤AB;若∠P1Q1C≥90°,则PQ≤P1Q1≤P1C.同理,∠AP

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