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《抛物线动弦中点到y轴最短距离的推导计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、抛物线y²=2px(p>0)的动弦AB长为a,求动弦AB的中点M到y轴的最短距离。解：设直线AB的方程为x=ky+b,与y²=2px联立，得：y²=2p(ky+b)y²-2pky-2pb=0y1+y2=2pky1*y2=-2pb则(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=4p²k²+8pb∴(x1-x2)²=[(ky1+b)-(ky2+b)]²=(ky1-ky2)²=k²(y1-y2)²
2、AB
3、=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(k²+1)(y1-y2)²]=√[(k²+1)(4p²k²
4、+8pb)]=a√[(k²+1)(4p²k²+8pb)]=a(k²+1)(4p²k²+8pb)=a²b=[-pk²/2+a²/8p（k²+1）]而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=pk²+b∴点M的横坐标为：pk²+b即M到y轴的距离为：pk²+b而pk²+b=pk²-pk²/2+a²/8p（k²+1）=[pk²/2+a²/8p（k²+1）]=[p（k²+1）/2+a²/8p（k²+1）-p/2]≥（a-p）/2这里，(k²+1)=a/2p能成立时，取得等号。而由
5、于(k²+1)≥1，只有a/2p≥1，即a≥2p时，可取得等号，即(k²+1)=a/2p能成立。此时，动弦AB的中点M到y轴的最短距离为（a-p）/2。此时，将解出的k、b代入所设直线AB的方程为x=ky+b可知：弦AB过抛物线的焦点！当a/2p<1，即a<2p时，不能取得等号。此时，k=0时，M到y轴的距离取得最小值pk²+b=b=[-pk²/2+a²/8p（k²+1）]=a²/8p此时，将k=0和解出的b代入所设直线AB的方程为x=ky+b可知：弦AB平行于y轴！已知抛物线y^2=2px(p>0)的动弦
6、AB长为a（a>=2p),求证动弦AB的中点M到y轴的最短距离是(a-p)/2。证明：如图，设焦点F为（P/2，0）作MN，AP,BQ垂直于准线X＝－P/2，则有：AB≤AG+BG=AP+BQ=2MN得ML≥a/2，a>=2p时,ML≥1/2a能取得等号,即AB过焦点，MN取得最小值。而动弦AB的中点M到y轴的最短距离=MN取得最小值-P/2=a/2-P/2=(a-p)/2例1抛物线y²=8x的动弦AB的长为6,求弦AB的中点M到y轴的最短距离。解一：当
7、AB
8、<=2p时,AB平行于y轴,AB的中点到y轴的
9、距离取得最小值设A(x1,y1)、B(x2,y2)AB平行于y轴,
10、y1
11、=
12、y2
13、=3,且有:y1²=8x1y2²=8x2（x1+x2)/2=（y1²+y2²）/16=18/16=9/8即AB中点M到y轴的最小距离9/8解二：设直线AB的方程为：x=ky+b,则有：y²=8(ky+b)y²-8ky-8b=0y1+y2=8ky1*y2=-8b则(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64k²+32b∴(x1-x2)²=[(ky1+b)-(ky2+b)]²=(ky1-ky2)²=k²(y1-y2)²
14、
15、AB
16、=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(k²+1)(y1-y2)²]=√[(k²+1)(64k²+32b)]=4√[(k²+1)(4k²+2b)]=6√[(k²+1)(4k²+2b)]=3/2(k²+1)(4k²+2b)=9/42k²(k²+1)+b(k²+1)=9/8b(k²+1)=9/8-2k²(k²+1)b=[9/8-2k²(k²+1)]/(k²+1)=9/8(k²+1)-2k²而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k²+b∴点M的横坐标为：
17、4k²+b即M到y轴的距离为：4k²+b而4k²+b=4k²+9/8(k²+1)-2k²=2k²+9/8(k²+1)=2(k²+1)+9/8(k²+1)-2≥2√[2(k²+1)×9/8(k²+1)]-2=1这里，(k²+1)=3/4时，2(k²+1)=9/8(k²+1)才能取得等号。而(k²+1)≥1即k=0时，M到y轴的距离取得最小值9/8例2抛物线y²=8x的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到y轴的最短距离。解一：设A（x1,y1）、B(x2,y2)弦AB的中点M到y轴的距离最短,则弦AB过焦点y
18、²=8x焦点（2，0）准线x=-2AB的长为16则x1+2+x2+2=16x1+x2=12中点M到Y轴的距离=(x1+x2)/2=6解二：设直线AB的方程为x=ky+b和抛物线y²=8x联立，得：y²=8(ky+b)y²-8ky-8b=0y1+y2=8ky1y2=-8b则(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64k²+32b∴(x1-x2)²=[(ky1+b)-(ky2+b)]²=(ky1-ky2)²=
