数学分析55032

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1、计算题第1题(3.0)分计算偏导数1).当时，按通常方法求偏导数2).当时，按定义求偏导数，.第2题(3.0)分解易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为，由对称性可知该长方体的体积为，从而问题转化为求函数在条件下的最值问题。设辅助函数为,,则有.从中可得出唯一解，，。根据几何性质不难推知，该椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为时达到最大体积第3题(3.0)分解利用极坐标变换第4题(3.0)分解(1)注意到柯西不等式，。（2）由于，，可知.采用极坐标，可得.由此知,利用题（1），

2、有，（2）因为，所以，。.将曲线用参数式表示，即令，，且取顺时针方向为正，可知.第5题(4.0)分解用轴上直线段,使上半圆周和直线段构成封闭曲线.设,.有.于是,由格林公式知=.其中在直线段上,有,,则.因此.第6题(3.0)分由于,,,,于是,..第7题(3.0)分解设长，宽，高分别为，则问题变为求函数的最大值，联系方程为.设辅助函数为，则有，解方程组得到，因而最大体积为.第8题(3.0)分解在平面上的投影区域为,于是第9题(3.0)分解不妨设该可微函数为，则按定义可得，，由此知.从而又得.联系到上面第一式，有或,从而.第

3、10题(3.0)分解对原方程两端对求导，可得，从而知第11题(3.0)分解将代人参数方程，得点，该曲线的切向量为T=（,于是得切线方程为法平面方程为=0，即第12题(3.0)分解(1)注意到,，故两个累次极限均为0，但是,所以重极限不存在.(2)注意到,,故两个累次极限不存在.此外，因为，所以.第13题(3.0)分解先对积分后对积分..由分部积分法,知.第14题(3.0)分解段：直线方程，，.段：直线方程，，。段：直线方程，，段：直线方程，，于是有，=0.第15题(4.0)分解（1）令，则D变成，且积分成为（（2）令，则D变

4、成，且原积分成为第16题(3.0)分解由得，从而。注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有.第17题(4.0)分解对于圆锥面，则，在平面上投影区域为：，于是第18题(3.0)分解曲面方程表示为，，，于是所求面积S=第19题(3.0)分解曲面S1取负侧，而投影区域为D1：，于是应用极坐标可得，曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2，于是应用极坐标可得，于是,.第20题(4.0)分解设，因为,则是某函数的全微分.且.第21题(3.0)分 解设，，则原式＝＝第22题(3.0)分解这里是以和为自变量的复

5、合函数,它可写成如下形式,,.由复合函数求导法则知.于是,第23题(3.0)分解设.由于在全空间上处处连续,在处于是,得切平面方程为,即.法线方程为.第24题(3.0)分解因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标法比较方便．.于是,.利用洛必达法则,有.第25题(4.0)分解.因为,所以,,其中,，由此知在处可微.证明题第26题(4.0)分证明对方程两边分别对和求偏导数，有，分别解得，，于是，得到第27题(4.0)分证对于复合函数，，由于，=+，因此当时，，与无关，即在极坐标系里只是的函数.第28题(4.0)分证

6、明由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此第29题(4.0)分证明它随而异，因此不存在。第30题(4.0)分对由于可知当时，便有。故。