线性代数实对称阵及(若当标准形,不做要求)

《线性代数实对称阵及(若当标准形,不做要求)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、几何与代数主讲:王小六东南大学线性代数课程第5章特征值与特征向量第3节实对称矩阵的相似对角化第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化§5.3实对称矩阵的相似对角化一.实对称矩阵的性质1.复矩阵的共轭矩阵设A=[aij]mn,aijC.A的共轭矩阵.则称A=[aij]mn为可以验证(1)kA=kA;(2)AB=AB;(3)AT=;(4)AB=AB;(5)若A可逆,则A也可逆,且第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化2.实对称矩阵性质5.1.实对称矩阵的特征值均为实数.性质5.2.设1,2是实对

2、称矩阵A的两个不同的特征值,p1,p2是对应与它们的特征向量,则p1与p2正交.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化定理5.7.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得QTAQ==diag(1,2,…,n),其中1,2,…,n为A的全部特征值,Q=[q1,q2,…,qn]的列向量组是A的对应于1,2,…,n的标准正交特征向量.二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵注1.实对称矩阵一定可对角化；2.相似变化矩阵一定可以取为正交矩阵;3.q1,q2,…,qn构成了Rn的一组标准正交基.第五章矩阵的相似变换和

3、特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化例1.把正交相似对角化.解:

4、E–A

5、=(–2)(–4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.(A-2E)x=的基础解系1=(0,1,–1)T.(A-4E)x=的基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.由于1,2,3已经是正交的了,只需将它们单位化，之后组成矩阵则Q一定满足注:对于2=3=4,若取(A-4E)x=的基础解系2=(1,1,1)T,3=(–1,1,1)T,则需要将它们正交化.取1=2,第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化

6、第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化再单位化,即得第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化例2.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为(–1)2(–10),且3=[1,2,2]T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交(≠);(2)求A.证明(1):由定理5.8可知()成立.()因为=1是A的二重特征值,所以A有两个线性无关的特征向量1,2对应于=1.注意到1,2,3是R3的一组基,所以可设=k11+k22+k33,故=k11+k

7、22是对应于=1的特征向量.由3,=3,1=3,2=0得k3=0,第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化解(2):由(1)可知对应于=1两个线性无关的将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵例2.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为(–1)2(–10),且3=[1,2,2]T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交(≠);(2)求A.特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:1=[2,1,2]T,2=[2,2,1]T,Q=,第五

8、章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化Q=,它满足QTAQ=Q1AQ==,由此可得A=QQT.=注：求解第二问的过程中，如果令P=[1,2,3],则P-1AP=.从而A=PP-1.但用此法求解A需要进行求逆运算。例3.设3阶实对称矩阵A不可逆,且1=[1,0,1]T2=[1,0,-1]T分别是A的相应于特征值1,2的特征向量.求A.分析：(1)A不可逆0是A的特征值设A对应于特征值0的特征向量为3,由3,1=3,2=0可求得3.(2)记P=(1,2,3),则P-1AP=diag(1,

9、2,0).A=Pdiag(1,2,0)P-1.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化(2)或将1,2,3单位化后得1,2,3.记Q=(1,2,3),则QTAQ=Q1AQ=diag(1,2,0).A=Qdiag(1,2,0)QT.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化提醒求特征向量就是求基础解系；写相似变换矩阵P时，列向量一定要和对角阵的对角元素相对应；一个特征值至少有一个特征向量；记住是：P-1AP=对角阵；实对称阵的不同特征值对应的特征向量之间一定是正交的；对于实对称阵A，一定存在可逆

10、阵P使得P-1AP=对角阵，并且P可取做正交阵Q.4.如果实对称矩阵的特征值都为1，则它一定为单位矩阵.3.一个n阶方阵相似于对角阵它